מאת אוהד ליבנה בר־און
כל הזכויות שמורות © 2015 ליבגני שוסטין ולאוהד ליבנה בר־און
אין לעשות שימוש מסחרי בחומר זה ללא אישור מראש מבעלי הזכויות.
אין בקורס חובת הגשת תרגילים, אך הם נותנים בונוס לציון, שיבוסס על עבודת בית.
אתר הקורס
תחום הגיאומטריה הספירה הופיע במאה ה־19, לצד גיאומטריה אלגברית. התחום עוסק בספירת עצמים מתוך קבוצה סופית, כמו למשל קבוצת הפתרונות למערכת משוואות אלגבריות. בהרבה מקרים מתחילים ממרחב אובייקטים הקרוי מרחב מודולים ומוסיפים לו תנאים עד לקבלת קבוצה סופית.
בכמה נקודות נחתכות שתי עקומות אלגבריות במישור? נקח עקומה \(C_m\) ממעלה \(m\) ועקומה \(C_n\) ממעלה \(n\), ונעבוד במישור הפרוייקטיבי מעל \(\CC\) (אז אין קוים מקבילים). עדיין יתכנו מצבים מנוונים, למשל אם שתי העקומות הן \(C_2, C_2\), כל אחת מהן היא איחוד שני ישרים, ויתר־על־כן אחד הקוים משותף (ראה איור). במקרה כזה נקבל אינסוף נקודות חיתוך.
נדרוש עקומות במצב כללי, כלומר ללא רכיב קשירות משותף. כדי לספור את נקודות החיתוך, ננוון את הבעיה: נניח שאין נקודות חיתוך באינסוף, אז ניתן לכתוב את העקומות בכתיב אפיני: \[ \begin{align*} C_m &= \left\{F = \sum_{\substack{0 \leq i, j \\ i+j \leq m}} a_{ij} x^i y^j\right\} \\ C_n &= \left\{G = \sum_{\substack{0 \leq k,\ell \\ k+\ell \leq n}} b_{k\ell} x^k y^\ell\right\} \end{align*} \] ונפרק את הפולינומים לרכיבים הומוגניים, אז \[ \begin{align*} \frac{1}{t^m} F(tx, ty) &= F_m + \frac{1}{t} F_{m-1} + \dotsb + \frac{1}{t^m} F_0 \\ \frac{1}{t^n} G(tx, ty) &= G_n + \frac{1}{t} G_{n-1} + \dotsb + \frac{1}{t^n} G_0 \end{align*} \] ועבור \(t \to \infty\), נותרים רק המחוברים \(F_m, G_n\), המתארים קוים הנחתכים ב־\(0\). קיבלנו נקודת חיתוך יחידה מריבוי \(m \cdot n\). לחילופין, אם נזיז קצת את אחת העקומות (למצב כללי), נקבל \(m \cdot n\) נקודות חיתוך פשוטות (ראה איור).
נזדקק לכלים מתוך:
נסקור אותם בקצרה:
יהי \(X\) מרחב טופולוגי. נגדיר עליו שרשרת חבורות \[ \dotsb \xrightarrow{\partial_3} C_2(X) \xrightarrow{\partial_2} C_1(X) \xrightarrow{\partial_1} C_0(X) \xrightarrow{\partial_0} 0 \] על־ידי ההומולוגיה הסינגולרית: \(C_0(X)\) היא החבורה האבלית החפשית הנוצרת על־ידי כל הנקודות \(p \in X\); \(C_1(X)\) נוצרת על־ידי מסילות \(f:[0,1] \to X\); וכן הלאה. העתקות השפה מוגדרות ע"י האוריינטציה של הסימפלקסים (המושרית ממרחב המקור האוקלידי), למשל \(\partial_1 f = f(1) - f(0)\) מתקיים \(\partial^2 = 0\), ולכן ניתן להגדיר את חבורות ההומולוגיה \(H_k = \frac{\ker \partial_k}{\imag \partial_{k-1}}\). ניתן גם להחליף את חבורת המקדמים מעליה נוצרות החבורות \(C_k\), ונקבל למשל את חבורות ההומולוגיה \(H_k(X, \RR)\).
יש לקומפלקס השרשרתי של ההומולוגיה אוביקט דואלי: נגדיר את החבורות \(C^n(X) = \Hom(C_n(X), \ZZ)\), אז יש קו־שרשרת \[ \dotsb \xleftarrow{\delta_2} C^1(X) \xleftarrow{\delta_1} C^0(X) \xleftarrow{\delta_0} 0 \] בה ההעתקות מוגדרות ע"י \(\delta(f)(\alpha) + f(\partial(\alpha)) = 0\). שוב מתקיים \(\delta^2 = 0\), ולכן ניתן להגדיר את חבורות הקוהומולוגיה \(H^n = \frac{\ker \delta}{\imag \delta}\). בניגוד לחבורות ההומולוגיה, על הקוהומולוגיה ניתן להגדיר מבנה של חוג מדורג, באמצעות מכפלת הספל \(\cup:H^m \times H^n \to H^{m+n}\). המכפלה מקיימת סופר־חילופיות: \(\alpha \cup \beta = (-1)^{mn} \beta \cup \alpha\). במימדים זוגיים, זו פשוט חילופיות רגילה.
נניח כי \(X = \bigcup e^q\) מרחב תאי (CW-complex). באמצעות המבנה התאי, ניתן להגדיר את ההומולוגיה התאית: יהיו \(\Cmc_n(X)\) החבורות הנוצרות ע"י כל התאים ממימד \(n\). החבורות הללו יוצרות שרשרת \[ \dotsb \xrightarrow{\partial_{\mathrm{CW}}} \Cmc_1(X) \xrightarrow{\partial_{\mathrm{CW}}} \Cmc_0(X) \xrightarrow{\partial_{\mathrm{CW}}} 0 \] כאשר העתקת השפה \(\partial = \partial_{\mathrm{CW}}\) סופרת כמה פעמים השפה של תא \(n\)־ממדי עוברת על כל תא \((n-1)\)־ממדי ביחס לאורינטציה האוקלידית של התאים (ומתעלמת מתאים ממימד יותר נמוך המוכלים בשפת התא). שוב נקבל שמתקיים \(\partial^2 = 0\), ולכן נגדיר את ההומולוגיה התאית \(\mathcal{H}_k^{\mathrm{CW}}(X) = \frac{\ker \partial}{\imag \partial} \cong H_k(X)\).
נחשב את החבורות האלה עבור הדוגמה של המרחב הפרוייקטיבי המרוכב \(X = \CC P^n\). כאשר \(n = 1\), \(\CC P^1 \cong \SS^2 = e^0 \cup e^2\), ולכן השרשרת היא \[ \begin{array}{lrcccccccccl} & & (4) & & (3) & & (2) & & (1) & & (0) \\ \Cmc_k: & \dotsb \rightarrow & 0 & \rightarrow & 0 & \rightarrow & \ZZ & \rightarrow & 0 & \rightarrow & \ZZ & \rightarrow 0 \\ H_k: & \dotsb \rightarrow & 0 & \rightarrow & 0 & \rightarrow & \ZZ & \rightarrow & 0 & \rightarrow & \ZZ & \rightarrow 0 \\ H^k: & \dotsb \leftarrow & 0 & \leftarrow & 0 & \leftarrow & \ZZ & \leftarrow & 0 & \leftarrow & \ZZ & \leftarrow 0 \end{array} \] נבחין כי ההומולוגיה/קוהומולוגיה מתאפסת במימדים הגדולים ממימד היריעה (מימד \(2\) עבור \(\CC P^1 \cong \SS^2\)). כמו־כן מתקיימת דואליות Poincaré: \(H^k \cong H_{n-k}\). בנוסף, \(\operatorname{Free}\left(H^k\right) \cong \operatorname{Free}\left(H_k\right)\), כאשר \(\operatorname{Free}\) מציין את החלק חסר־הפיתול של החבורה.
עבור \(n\) כללי, \(\CC P^n = e^0 \cup e^2 \cup \dotsb \cup e^{2n}\), כאשר \(e^{2k} \cong \CC^k\) הוא החלק האפיני של המרחב הפרוייקטיבי \(\CC P^k\) (הגדרה רקורסיבית לפירוק התאי). במפורש, עבור הקואורדינטות \(x = (x_0:x_1:\dotsb:x_n) \in \CC P^n\), התא \(e^{2k}\) מכיל את כל הנקודות עבורן \(x_k \neq 0\) אבל \(x_{k+1} = \dotsb = x_n = 0\). הפעם נקבל שרשראות \[ \begin{array}{lrcccccccccccl} & & (2n+2) & & (2n+1) & & (2n) & & (2n-1) & & (1) & & (0) \\ \Cmc_k: & \dotsb \rightarrow & 0 & \rightarrow & 0 & \rightarrow & \ZZ & \rightarrow & 0 & \rightarrow \dotsb \rightarrow & 0 & \rightarrow & \ZZ & \rightarrow 0 \\ H_k: & \dotsb \rightarrow & 0 & \rightarrow & 0 & \rightarrow & \ZZ & \rightarrow & 0 & \rightarrow \dotsb \rightarrow & 0 & \rightarrow & \ZZ & \rightarrow 0 \\ H^k: & \dotsb \leftarrow & 0 & \leftarrow & 0 & \leftarrow & \ZZ & \leftarrow & 0 & \leftarrow \dotsb \leftarrow & 0 & \leftarrow & \ZZ & \leftarrow 0 \end{array} \]
עבור יריעה ממימד \(r\), \(X^r\), נקבל מהתאפסות הקוהומולוגיה שלכל \(f \in H^m, g \in H^n\), \(m+n \gt r\), מתקיים \(f \cup g = 0\). לכן די להגדיר את המכפלה למקרים \(m+n \leq r\).
נחזור לדוגמה של המרחב הפרוייקטיבי. \(H_0\) נוצרת ע"י רכיבי קשירות, ולכן \(H^{2n} \cong H_0 \cong \ZZ\) כי המרחב קשיר. \(H^0\) נוצרת ע"י פונקציות קבועות מקומית, ושוב נקבל \(H_{2n} \cong H^0 \cong \ZZ\) כי המרחב קשיר. החבורה \(H_{2n} \cong \ZZ\) נוצרת ע"י האיבר \(\left[\CC P^n\right]\). באופן דומה, לכל \(0 \leq k \leq n\), \(H_{2k}\) נוצרת ע"י \(\left[\CC P^k\right]\) (נובע מהמבנה התאי). נסמן ב־\([\alpha_k]\) את היוצר של \(H^{2k}\), ו־\(\alpha_{0}=1\), כך שאיזומורפיזם Poincaré מתאים \([\alpha_k] \mapsto \left[\CC P^{n-k}\right]\).
מזוגיות, הסופר־חילופיות היא חילופיות (זה גם נובע מהמשפט לפיו ליריעה מרוכבת קיימת אוריינטציה קנונית). ע"י לקיחת נציגים הנחתכים טרנסברסלית, נקבל \[ \begin{array}{ccccl} \alpha_k & \cup & \alpha_\ell & = & \begin{cases} \alpha_{k+\ell} & k+\ell \leq n \\ 0 & k+\ell \gt n \end{cases} \\ D \downarrow & & D \downarrow & & D \uparrow \\ \left[\CC P^{n-k}\right] & \cap & \left[\CC P^{n-\ell}\right] & = & \left[\CC P^{n-k-\ell}\right] \end{array} \] אנו יודעים כי החוג \(H^*\left(\CC P^n\right)\) נוצר חיבורית ע"י \(\{1, \alpha_1, \dotsc, \alpha_n\}\), אבל \(\alpha_1\) יוצר את כל אלה כפלית, ולכן \[ H^*\left(\CC P^n\right) \cong \ZZ[\alpha_1]/\left(\alpha_1^{n+1}\right) \]
נניח שנתון מרחב מודולים \(\Mmc\). נקח קומפקטיפיקציה \(\Mmc \subseteq \bar{\Mmc}\), ונניח שהיא "יריעה" מרוכבת (אולי עם כמה נקודות סינגולריות, כלומר יריעה אלגברית). כדי לקבל קבוצה סופית, נגדיר תנאים, שכל־אחד מהם קובע תת־יריעה, \(\bar{\Mmc}_1, \dotsc, \bar{\Mmc}_s\), ונניח שהם נחתכים טרנסברסלית, \(\bar{\Mmc}_1 \pitchfork \dotsb \pitchfork \bar{\Mmc}_s\), וכן \(\sum_{i=1}^s \codim \bar{\Mmc}_i = \dim \bar{\Mmc}\), אז החיתוך הוא קבוצת נקודות דיסקרטית, ולכן סופית.
נקח מחלקות דואליות \(\gamma_i \overset{D}{\cong} \left[\bar{\Mmc}_i\right]\), אז \(\sum_{i=1}^s \dim \gamma_i = 2 \dim_\CC \bar{\Mmc}\), כלומר \(\gamma = \gamma_1 \cup \dotsb \cup \gamma_s \in H^{2\dim_\CC \bar{\Mmc}} \cong \ZZ\), ולכן ניתן לכתוב \(\gamma \cong k \in \ZZ\). \(k\) נותן את הפתרון לבעיית הספירה (עד כדי סימן).
ראינו שלשתי עקומות \(C_m, C_n \subset \CC P^2\) יש \(m \cdot n\) נקודות חיתוך. ננסה להבין את התוצאה הזו לאור תורת החיתוכים. ראינו כי \(H^*\left(\CC P^2\right) \cong \ZZ[\alpha_1]/\left(\alpha_1^3\right)\), וכי יש דואליות \(\left[\CC P^2\right] \in H_2\left(\CC P^2\right) \overset{D}{\leftrightarrow} \alpha_1 \in H^2\left(\CC P^2, \ZZ\right)\).
הערות:
כתוצאה ממשפט Whitney, האומר שכל יריעה חלקה ניתנת לשילוש, נקבל כי כל תת־יריעה חלקה ואוריינטבילית מייצגת מחלקה הומולוגית. נזכיר ששילוש הוא פירוק של היריעה לקבוצות סגורות \(X = \bigcup_{q \geq 0} X_i^q\) בו כל רכיב הוא סימפלקס \(X_i^q \cong T^q\), וכל חיתוך הוא או ריק \(X_i^p \cap X_j^q = \emptyset\) או פאה משותפת (יש גם תנאי על ההתאמה בין ההומיאומורפיזמים, שממנו נתעלם כעת).
עבור יריעה ממימד \(n\), נבחין כי \(\max\{q\} = n\), וכן שכל פאה ממימד \(n-1\) משותפת בדיוק לשני סימפלקסים ממימד \(n\) (כי סביבה של כל נקודה בפאה הומיאומורפית ל־\(\RR^n\), ומתפרקת רק לשני חצאי־מרחב). כמו־כן, עבור יריעה אוריינטבילית, האוריינטציות של שני סימפלקסים אלה מתבטלת על השפה, ולכן ניתן להגדיר שרשרת: \(\partial \sum_i X_i^n = 0\), אז נגדיר \(X^n \to \sum_i X_i^n \to \left[\sum_i X_i^n\right] \in H_n\).
כעת נוכל לומר שהעקומות מייצגות מחלקות \([C_m], [C_n] \in H_2\left(\CC P^2\right) \cong \ZZ\).
מהטענה נקבל כי \[ [C_m] \cdot [C_n] = mn \left[\CC P^1\right] \cdot \left[\CC P^1\right] = mn \left[\CC P^1 \cap \CC P^1\right] = mn \cdot [\text{pt}] \]
נכליל את תוצאת הדוגמה הקודמת:
נתבונן בקבוצת העל־משטחים \(\{X_m^{n-1} \subset \CC P^n\}\), כאשר \(X_m^{n-1} = \{F_m(x_0, \dotsc, x_n)\}\) עבור פולינום הומוגני \(F_m\) ממעלה \(m\). יש התאמה \(X_m^{n-1} \leftrightarrow \{F_m \not\equiv 0\}/\sim\) (פולינומים פרופורציוניים הם שקולים, כי יש להם אותה קבוצת אפסים), ולכן מרחב המודולים של על־משטחים ממעלה \(m\) ב־\(\CC P^n\) הוא ממימד \(N = \binom{n+m}{m} - 1\). למעשה, הוא המרחב הפרוייקטיבי \(\CC P^N\).
נתבונן בדיסקרימיננט \(\{X \text{ is singular}\} = \Delta \subseteq \CC P^N\), קבוצת כל העל־משטחים הסינגולריים, כלומר הכוללים נקודות סינגולריות: נקודות \(p \in X\) המקיימות \(\frac{\partial F}{\partial x_0}(p) = \dotsb = \frac{\partial F}{\partial x_n}(p) = 0\) (נשים לב שזו הגדרה פרוייקטיבית. התנאי המדויק הוא למעשה \(F(p) = \frac{\partial F}{\partial x}(p) = 0\), אבל לפי משפט אוילר \(mF = \sum_i x_i \frac{\partial F}{\partial x}\), ולכן ניתן להשמיט את התנאי \(F(p) = 0\)).
\(\Delta \subset \CC P^N\) היא תת־קבוצה אלגברית (כי נדרשת התאפסות של מעין־דטרמיננטה, הנתונה על־ידי התאפסות הנגזרות). יתר־על־כן, זהו על־משטח (כלומר הדטרמיננטה היא התנאי היחיד), ולכן \(\codim_\RR \Delta = 2\). נתבונן במשוואה \(\Phi_\Delta(\{a_{i_0, \dotsc, i_n}\}) = 0\) המגדירה את \(\Delta\). מהי המעלה \(\deg \Phi_\Delta\)?
במקרה \(m = 1\):
\(\Delta = \emptyset\),
אז
\(\deg \Delta = 0\).
במקרה \(m = 2\):
\(F(x) = x^t Q x\)
תבנית ריבועית ב־\(n+1\) משתנים. תנאי הסינגולריות כאן הוא
\(Qx = 0\)
(תרגיל: הוכיחו זאת), ולכן
\(\Phi_\Delta = \det Q\),
ו־\(\deg \Phi_\Delta = (n+1)\).
במקרה הכללי:
\(\deg \Phi_\Delta = (n+1)(m-1)^n\).
נוכיח זאת:
ננסה להציג את \(\deg \Phi_\Delta\) כמספר נקודות החיתוך \(\#\left(\Delta \cap \CC P^1\right)\) (כדי לקבל מספר סופי של נקודות חיתוך, צריך יריעה ממימד משלים ל־\(\Delta\), כלומר ממימד \(1\), כלומר קו ישר).
נתבונן במרחב הזוגות של פולינום ונקודה, \(\CC P^N \times \CC P^n\), ובתת־מרחב שלו \(\tilde{\Delta}\), של פולינום סינגולרי ונקודה סינגולרית שלו. אנו יודעים כי \(H^*\left(\CC P^n\right) \cong \ZZ[\alpha]/\left(\alpha^{n+1}\right)\) וכי \(H^*\left(\CC P^N\right) \cong \ZZ[\beta]/\left(\beta^{N+1}\right)\). לפי נוסחת Künneth, \[ \begin{align*} H^*\left(\CC P^N \times \CC P^n\right) = &H^*\left(\CC P^N\right) \otimes H^*\left(\CC P^n\right) \cong \ZZ[\alpha, \beta]/\left(\alpha^{n+1}, \beta^{N+1}\right) \\ &\alpha^k \otimes \beta^\ell = \alpha^k \beta^\ell \end{align*} \]
נראה כי כמעט בכל מקום, ההעתקה \(\pi_1:\tilde{\Delta} \to \Delta\) היא חח"ע, ולכן גם \(\tilde{\Delta}\) ממימד \(N-1\). יתר־על־כן, למרות ש־\(\Delta\) תת־מרחב סינגולרי של \(\CC P^N\), \(\tilde{\Delta} \subset \CC P^N \times \CC P^n\) תת־יריעה חלקה (דה־סינגולריזציה).
תהי \(p \in \CC P^n\), אז תנאי הסינגולריות \(\frac{\partial F}{\partial x_0}(p) = \dotsb = \frac{\partial F}{\partial x_n}(p) = 0\) מגדיר את התמונה ההפוכה \(\pi_2^{-1}(p) \subset \tilde{\Delta}\) כתת־יריעה, ומכאן שיש פיברציה פרוייקטיבית של \(\tilde{\Delta}\).
נקח ל־\(\left[\tilde{\Delta}\right] \in H_{2N-2}\left(\CC P^N \times \CC P^n\right)\) את המחלקה הדואלית \(\left[\tilde{\Delta}\right]^* = P(\alpha, \beta) \in H^{2n+2}\left(\CC P^N \times \CC P^n, \ZZ\right)\). מתנאי הסינגולריות, \(\left[\tilde{\Delta}\right] = \left[\frac{\partial F}{\partial x_0}\right] \dotsm \left[\frac{\partial F}{\partial x_n}\right]\), ולכן \(\left[\tilde{\Delta}\right] = \left[\frac{\partial F}{\partial x_0}\right]^* \cup \dotsb \cup \left[\frac{\partial F}{\partial x_n}\right]^*\). המשוואה \(\frac{\partial F}{\partial x_i} = 0\) מגדירה על־משטח, ולכן \(\left[\frac{\partial F}{\partial x_i}\right]^* \in H^2\left(\CC P^N \times \CC P^n\right)\). החבורה \(H^2\) נוצרת על־ידי \(\alpha, \beta\), ולכן \(\left[\frac{\partial F}{\partial x_i}\right]^* = \lambda_i \alpha + \mu_i \beta\). \((\lambda_i \alpha + \mu_i \beta) \cdot \alpha^{n-1} \beta^N = \lambda_i \alpha^n \beta^N \in H^{\text{top}} \cong \ZZ\) דואלית ע"י \(D\) ל־\(\lambda_i[\text{pt}]\). מצד שני, \(\beta^N \in H^N\left(\CC P^N\right)\) דואלית לחיתוך של \(N\) על־מישורים, כלומר נקודה אחת, ואילו \(\alpha^{n-1} \in H^{n-1}\left(\CC P^n\right)\) דואלית לחיתוך של \(n-1\) על־מישורים, כלומר ישר. לכן \[ (\lambda_i \alpha + \mu_i \beta) \cdot \alpha^{n-1} \beta^N \xrightarrow{D} \left(\frac{\partial F}{\partial x_i}(p) = 0\right) \cap \ell \cdot \text{pt} = (m-1) \cdot \text{pt} \]
נחשב את \(\mu_i\): \((\lambda_i \alpha + \mu_i \beta) \cdot \alpha^n \beta^{N-1} = \mu_i \alpha^n \beta^N\), ומחישוב דומה נקבל \(\mu_i = 1\). כעת נוכל לחשב \[ \left[\tilde{\Delta}\right]^* = \left((m-1) \alpha + \beta\right)^{n+1} = (m-1)^{n+1} \alpha^{n+1} + (n+1)(m-1)^n \alpha^n \beta + \dotsb = (n+1)(m-1)^n \alpha^n \beta + \dotsb \]
הגורם \(\alpha^n \beta\) דואלי ל־\(\text{pt} \cdot \CC P^{N-1}\), העובר ע"י \(\pi_{1,*}\) ל־\(\left[\CC P^{N-1}\right] \in H_{2N-1}\left(\CC P^N\right)\). מה באשר לשאר המחוברים? \(\alpha^{n-1} \beta^2 \xrightarrow{D} \ell \cdot \CC P^{N-2} \xrightarrow{\pi_{1,*}} \left[\CC P^{N-2}\right]\), אבל המחלקה הזו מייצגת את \(0\) במימד \(2N-1\). באופן דומה מתאפסים גם שאר המחוברים, ולכן \[ \pi_{1,*}\left[\tilde{\Delta}\right] = (n+1)(m-1)^n \cdot \left[\CC P^{N-1}\right] \]
אנחנו משתמשים בשקילות בין:
בהוכחה הזו השתמשנו בטרנסברסליות כאשר כתבנו \(\left[\tilde{\Delta}\right] = \left[\frac{\partial F}{\partial x_0}\right] \dotsm \left[\frac{\partial F}{\partial x_n}\right]\), כלומר החיתוך \(\left(\frac{\partial F}{\partial x_0}(p) = 0\right) \cap \dotsb \cap \left(\frac{\partial F}{\partial x_n}(p) = 0\right)\). התנאי של טרנסברסליות פתוח כי התנאי המשלים אלגברי, ולכן די להראות שקיימת נקודה אחת בה החיתוך טרנסברסלי. למשל, אם נעבור להצגה אפינית, אז \(F(x) = x_1^m + \dotsb + x_n^m + x_1^2 + \dotsb + x_n^2\) ו־\(p = (0, \dotsc, 0)\) נותנים דוגמה למצב זה (תרגיל: הוכיחו שזו דוגמה מתאימה. כאן \(p\) היא נקודת מורס, סינגולריות מהסוג הפשוט ביותר). בהצגה האפינית אנחנו מחליפים את המשוואה \(\frac{\partial F}{\partial x_0}(p) = 0\) ב־\(F(p) = 0\).
יהי \(X\) מרחב עבורו רק מספר סופי מבין \(H_q(X)\) אינן מתאפסות, ולכולן סדר סופי (זה מתקיים, למשל, עבור מרחב קומפקטי), אז נגדיר את מספר אוילר \(\chi(X) = \sum_{q \geq 0} (-1)^q \rank H_q(X)\). אם נתון פירוק תאי \(X = \bigcup_{q \geq 0} \bigcup_{i \in I_q} e_i^q\), אז \(\chi(X) = \sum_{q \geq 0} (-1)^q |I_q|\). למשל, \(\chi\left(\SS^n\right) = 1 + (-1)^n\), ובפרט \(\chi\left(\SS^2\right) = 2\). אם \(X, Y\) שני מרחבים תאיים קומפקטיים כך שגם \(X \cup Y, X \cap Y\) מרחבים תאיים קומפקטיים, אז מתקיים \[ \begin{align*} \chi(X \cup Y) &= \chi(X) + \chi(Y) - \chi(X \cap Y) \\ \chi(X \times Y) &= \chi(X) \cdot \chi(Y) \end{align*} \] ומכאן נובע כי \(\chi\) מידה (פונקציה תת־אדיטיבית), ולכן ניתן לבצע אינטגרציה לפיה.
תהי \(C_m \subset \CC P^2\) עקומה חלקה, אז כיריעה מרוכבת היא אוריינטבילית, ולכן \(C_m \cong S_g^2\) ספירה עם מספר ידיות. למעשה, \(g\) אינה תלויה בבחירת העקומה \(C_m\)! העקומות הלא־חלקות מהוות תת־יריעה של מרחב המודולים של כל העקומות, ולכן מקו־מימד לפחות \(2\). כתוצאה מכך, קבוצת העקומות החלקות היא קשירה, ומכיוון ש־\(g(C_m)\) קבועה מקומית, היא קבועה \(g(C_m) = g = g(m)\).
ידוע כי \(\chi\left(S_g^2\right) = 2 - 2g\) (תרגיל: הראו זאת באמצעות הומולוגיה תאית). נקח ישר \(\ell = \CC P^1 = \SS^2\), אז \(\chi(\ell) = 2\). נבחר נקודה \(P \in \CC P^2\) ונטיל, ביחס אליה, את \(C_m\) על \(\ell\), כלומר נגדיר הטלה \(\pi = \pi_P:C_m \to \ell\). מעל כל נקודה בתמונת \(\pi\) ניצב סיב מתוך \(C_m\), המורכב מ־\(m\) נקודות לכל היותר. לו זה אכן תמיד היה המצב, היינו מקבלים \[ \chi(C_m) = \int_\ell \chi(C_m^x) \mathrm{d}\chi(x) = \int_\ell m \mathrm{d}\chi(x) = m \int_\ell \mathrm{d}\chi(x) = m \cdot \chi(\ell) = 2m \] אבל אנחנו מצפים לקבל תשובה שתמיד תהיה קטנה או שווה ל־\(2\)!
הסיבה היא שקיימים קוים משיקים, אז \[ \chi(C_m) = \int_\ell \chi(C_m^x) \mathrm{d}\chi(x) = \int_\ell m \mathrm{d}\chi(x) - \#(\text{סיבים משיקיים}) \] סיב משיק מקיים את המערכת \[ \left\{ \begin{aligned} F_m(x) &= 0 \\ p_0 \frac{\partial F}{\partial x_0} + p_1 \frac{\partial F}{\partial x_1} + p_2 \frac{\partial F}{\partial x_2} &= 0 \end{aligned}\right. \] ולכן נקבל \(\chi(C_m) = 2m - m(m-1) = 3m - m^2\), כלומר \(g = \frac{m^2 - 3m + 2}{2}\).
נחזור לדיסקרימיננט \(\Delta \subset \CC P^N\) במרחב העקומות ממעלה \(m\), \(N = \binom{m+2}{2} - 1 = \frac{m(m+3)}{2}\). מהי המעלה \(\deg \Delta\)? כבר פתרנו את המקרה הכללי. נציג פתרון נוסף למקרה זה.
שוב, \([\Delta] = s \left[\CC P^{N-1}\right] \in H_{2N-2}\left(\CC P^N\right)\). נחשב את \(s\) באמצעות חיתוך עם ישר \(\CC P^1 \subset \CC P^2\). שוב, \(\CC P^1 \cong \SS^2\), ןלכן \(\chi(\CC P^1) = 2\). נקח את הישר \(\CC P^1 = \{\lambda F + \mu G = 0\}\) עבור פולינומים קבועים \(F, G\), ונבנה העתקה \(\pi:\CC P^2 \to \CC P^1\) על־ידי \(\pi(p) = \lambda F(p) + \mu G(p)\). העתקה זו מוגדרת בכל נקודה בה אין התאפסות סימולטנית \(F(p) = G(p) = 0\). נבחין כי הנקודות הבעייתיות הן נקודות החיתוך של שתי עקומות, ולכן יש \(m^2\) עקומות כאלה. ניתן לסלק אותן או לנפח אותן, ונקבל \[ \chi\left(\CC P_{m^2}^2\right) = \chi\left(\CC P^2\right) - m^2 + 2m^2 = 3+m^2 \] (כי סילקנו בניפוח \(m^2\) נקודות, הכנסנו במקומן ישרים, ו־\(\chi\) אדיטיבית). מצד שני, \[ \chi\left(\CC P_{m^2}^2\right) = \int_{\CC P^1} \chi(\text{fibres}) = 2 \cdot \left(3m-m^2\right) \] כלומר יש טעות.
הטעות שוב מגיעה מכך שהסיבים נחתכים עם \(\Delta\). נקודות החיתוך הן מורס, ובהן נקבל \(xy = 0\), כלומר זר של שני ישרים, שעבורו \(\chi = 1\). באמצעות דפורמציה ל־\(xy = \varepsilon\), נקבל גליל, עם \(\chi = 0\). כעת, \(\chi(\CC P_{m^2}^2) = 2 \cdot (3m-m^2) + s\), ולכן \(s = 3(m-1)^2\) (מהשוואה לתוצאה במקרה הכללי).
לעקומות ממעלה \(d\), ראינו ש־\(\Delta \subset \PP^{\frac{d(d+3)}{2}}\), ועבור \(d = 3\) המעלה היא \(\deg \Delta = 3(d-1)^2 = 12\) מהצבה בנוסחה למקרה הכללי. ניתן לנסח את התוצאה הזו גם באופן הבא (ונקבל הוכחה נוספת):
ננסה לחשב את המעלה כמספר נקודות החיתוך עם ישר, \(\deg \Delta = \#(\Delta \cap \ell)\).
עקומה קובית כללית היא חלקה (ללא נקודות סינגולריות). \((S^1)^2 \cong S_1^2\), וחישבנו \(g = \frac{d^2 - 3d + 2}{2} = 1\).
(אויה! חסר חלק!)מדוע בחרנו בתנאי של \(8\) נקודות קבועות? יהיו \(p_1, \dotsc, p_k \in \PP^2\), אז מרחב העקומות \(F_d(\bar{x})\) העוברות דרכן מאופיין ע"י המשוואות \(F_d(p_1) = 0, \dotsc, F_d(p_k) = 0\). זה תת־מרחב פרוייקטיבי, ועבור נקודות כלליות יש לו קו־מימד \(k\) (אם אין יותר נקודות מאשר מימד מרחב כל העקומות). ביתר פירוט, תמיד ניתן לבחור \(k\) נקודות כאלה.
למרחב העקומות הקוביות יש מימד \(9\), (ליתר דיוק, הוא \(\PP^9\)), ולכן אם נגדיר את \(\ell\) כתת־המרחב דרך \(8\) נקודות קבועות כלליות, נקבל ישר פרוייקטיבי, הנחתך עם \(\Delta\) במספר סופי של נקודות.
זו דוגמה של אינבריאנט Gromov-Witten, \(N_3\left(\PP^2\right) = 12\). \(N_1\left(\PP^2\right) = 1\) (לוקחים זוג נקודות, ודרכן עובר רק ישר אחד). \(N_2\left(\PP^2\right) = 1\) (דרך חמש נקודות).
מכיוון שמרחב העקומות דרך \(3d - 1\) נקודות הוא מקו־מימד \(3d - 1\), ויריעת העקומות הרציונליות היא ממימד \(3d - 1\) (צריך להראות את זה), שתי היריעות האלה נחתכות במספר נקודות סופי.
נתבונן בעקומה כתמונה של ישר: \(\mu:\CC P^1 \to \CC P^2\), \(\deg \mu = d\). עבור \(t \in \CC = \CC P^1 \setminus \{\text{pt}\}\), \(\mu(t) = (x_0:x_1:x_2)\) כאשר \(\mu_i = f_i(t)\), \(\deg f_i = d\). החיתוך בין \(\mu\left(\CC P^1\right)\) לישר \(\alpha_0 x_0 + \alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2\) נתון על־ידי הנקודות \(t\) שעבורן \(\alpha_0 f_0(t) + \alpha_1 f_1(t) + \alpha_2 f_2(t) = 0\). למשוואה זו יש \(d\) פתרונות אם"ם \(\deg f_i = d\). נספור דרגות חופש: לכל \(f_i\) יש \(d + 1\) מקדמים (כפולינום ממעלה \(d\) במשתנה אחד); פרופורציוניות נותנת \((-1)\); והחלפת פרמטר ב־\(\CC P^1\) נותנת \((-3)\). בסך־הכל, נקבל \(3(d+1) - 3 - 1 = 3d - 1\).
מה קורה מעל \(\RR\)? ב־2002 התגלו האינבריאנטים של Welschinger: נתבונן ב־\(\RR P^2\). עבור \(d = 1\) נקבל שוב (מלינאריות) \(W_1\left(\PP^2\right) = 1\). עבור \(d = 2\) וחמש נקודות, \(W_2\left(\PP^2\right) = 1\).
גם כאן, \(8\) נקודות כלליות מגדירות ישר \(\ell \subset \RR P^9\). ממשפט Bezout, על שתי עקומות ב־\(\ell\) נחתכות בנקודה נוספת כלשהי. למעשה, קיימת נקודה משותפת יחידה דרכה עוברות כל העקומות \(C \in \ell\). נציג את הישר \(\ell = \{\lambda F_1 + \mu F_2 = 0\}\). קיימת העתקה \(\RR P^2 \to \RR P^1 = \ell\) המוגדרת לכל \(p \in \RR P^2\) ע"י זוג \(\lambda, \mu \in \ell\) עבורו \(\lambda F_1(p) + \mu F_2(p) = 0\). זו העתקה מוגדרת היטב בכל נקודה שעבורה \(F_1, F_2\) אינן מתאפסות יחד, כלומר בכל נקודה פרט ל־\(9\) המשותפות לכל \(C \in \ell\). נקבל העתקה המוגדרת \(\RR P^2 \setminus \{9 \text{ pts}\} \to \RR P^1\). לכן \(\chi\left(\RR P^2 \setminus \{9 \text{ pts}\}\right) = \int_{\RR P^1} \chi(\text{fibre})\). מאידך, \(\chi\left(\RR P^1\right) = 1\) ולכל נקודה \(\chi(\text{pt}) = 1\), ולכן \(\chi\left(\RR P^2 \setminus \{9 \text{ pts}\}\right) = -8\).
עקומה חלקה מתפרקת לרכיבי קשירות הומיאומורפיים למעגל, שיש לו \(\chi = 0\). בנוסף יש לנו \(9\) נקודות שסילקנו (הן אינן מתקבלות ע"י ההעתקה שהגדרנו). מהרכיבים החלקים נקבל \(\int_{\RR P^1} (-9) = (-9) \chi\left(\RR P^1\right) = 0\).
מה קורה במקרים הסינגולריים? מקומית, בנקודה סינגולרית העקומה היא \(xy = 0\). מעל \(\CC\), זה תמיד שקול ל־\(x^2 + y^2 = 0\) (כל המקרים הסינגולריים שקולים מעל \(\CC\)). מעל \(\RR\), יש שני מקרים: \(x^2 + y^2 = 0\), המתאר נקודה, ו־\(x^2 - y^2 = 0\), המתאר זוג ישרים הנחתכים בנקודה. נסמן את מספר הרכיבים הסינגולריים מכל סוג ב־\(n_-\) וב-\(n_+\) בהתאמה.
ניתן לראות בקלות כי \(n_+ + n_- \leq 12\) וכי \(n_+ + n_- \equiv 0 \pmod 2\) (כי הפתרונות המרוכבים באים בזוגות). עבור הסיבים של \(n_-\), לכל סיב יש \(\chi = \chi(\text{pt}) = 1\). עבור \(n_+\), \(\chi = -1\) באמצעות רזולוציה: במצב החלק היו רק מעגלים, והדבקנו שניים מהם בנקודה. למעשה, שני הקוים הנחתכים הם רק החלק המקומי מתוך זר של שני מעגלים. כעת נקבל כי \[ \int_{\RR P^1} \chi(\text{fibre}) = \int_{\RR P^1} (-9) + n_- - n_+ = n_- - n_+ \Rightarrow n_+ - n_- = 8 \]
המספר הזה אינו תלוי בבחירת הנקודות. נגדיר באמצעותו \(W_3\left(\PP^2\right) = n_+ - n_- = 8\). האינבריאנט הזה סופר את העקומות, כאשר לכל עקומה יש סימן הנתון ע"פ הניתוח של הנקודות הסינגולריות.
אם נתבונן בתתי־מרחבים לינאריים העוברים דרך די נקודות, תמיד נקבל שיש בדיוק \(1\). (פתרון של מערכת לינארית). ניתן לתת אילוצים לא־לינאריים. למשל, עבור ישרים \(\ell \subset \PP^3\), ניתן לתת את התנאי "נחתך עם ארבעה ישרים נתונים, \(\ell_1, \ell_2, \ell_3, \ell_4\)".
יריעות Grassmann מרוכבות: יהי \(V\) מרחב לינארי מרוכב ממימד \(n\), ויהי \(1 \leq k \lt n\), אז נגדיר את \(\Gr(k, V)\) בתור קבוצת תתי־המרחבים הלינאריים ממימד \(k\). עד כדי איזומורפיזם (שיהיה הומאומורפיזם כאשר תוגדר טופולוגיה), כולם שקולים ל־\(\Gr(k, n) = \Gr\left(k, \CC^n\right)\).
על הקבוצה הזו נגדיר מבנה של יריעה: לכל נקודה \(\Lambda \in \Gr(k, n)\) ניתן לבחור ייצוג כמטריצה \(A_{k \times n}\), ששורותיה פורשות את \(\Lambda\). מכאן ש־\(\rank A = k\), אז קיים מינור (בחירה של עמודות) \(M_I = M_{i_1, \dotsc, i_k}\), \(I = \{i_1, \dotsc, i_k\} \subset [n]\), כך ש־\(\det M_I \neq 0\). באמצעות כפל משמאל במטריצת המעבר \(M_I^{-1}\) נקבל נציג נוסף של \(\Lambda\), שעבורו \(M_I = I_k\). נתבונן בתת־קבוצה \(U_I = \{\Lambda \in \Gr(k, n) \mid M_I = I_k\} \subset \Gr(k, n)\), אז יש העתקה טבעית \(U_I \cong \CC^{k(n-k)}\), הנתונה על־ידי שאר קואורדינטות הנציג. כמו־כן, \(\Gr(k, n) = \bigcup_{I \subset [n]} U_I\).
הטופולוגיות המושרות על הקבוצות \(U_I\) מ־\(\CC^{k(n-k)}\) מתיישבות אלה עם אלה: כל חיתוך \(U_I \cap U_J\) מועתק על־ידי ההתאמות לקבוצות פתוחות בתוך \(\CC^{k(n-k)}\) (כי הן נתונות ע"י התנאי שלמינור כלשהו \(\det \neq 0\)). העתקת המעבר \(\varphi_{I, J}\) נתונה ע"י פונקציות רציונליות באיברי המטריצה, ולכן היא פתוחה.
כעת נוכל להגדיר טופולוגיה גלובלית: \(W \subseteq \Gr(k, n)\) פתוחה אם"ם לכל \(I \subset [n]\), הקבוצה \(W \cap U_I \subseteq U_I\) פתוחה.
נקבל ש־\(\Gr(k, n)\) יריעה מרוכבת חלקה ממימד (מרוכב) \(k(n-k)\). נשכן אותה במרחב פרוייקטיבי. נגדיר העתקה \(\Lambda \in \Gr(k, n) \mapsto \PP^N\) באמצעות קואורדינטות Plücker: נקח נציג \(A_{k \times n}\) של \(\Lambda\), ולכל \(I \subset [n]\) נסמן \(\lambda_I = \det M_I\). הקבוצה \(\{\lambda_I\}_{\binom{[n]}{k}}\) נקראת קואורדינטות Plücker של \(\Lambda\).
\(\lambda\) היא שיכון: נתון \((\lambda_I)_I\) וצריך לבנות את \(\Lambda \in \Gr(k, n)\). די למצוא את \(A\). קיים \(\lambda_{I_0} \neq 0\) ומפרופורציונליות נניח כי \(\lambda_{I_0} = 1\). בה"כ, \(I_0 = \{1, \dotsc, k\}\). כעת, \(\Lambda \in U_I\) ולכל \(1 \leq i \leq k, 1 \leq j \leq n-k\) ניתן לחשב את \[ a_{i, j+k} = \lambda_{1, \dotsc, \hat{\imath}, j+k, i+1, \dotsc, k} = (-1)^{k-i} \lambda_{1, \dotsc, \hat{\imath}, \dotsc, k, j+k} \]
תמונת \(\lambda\) היא תת־יריעה אלגברית סגורה של \(\PP^{\binom{n}{k}-1}\) (תרגיל: הוכיחו זאת. רמז: יש תלויות בין המינורים, כי את כולם ניתן לחשב מתוך ה־\(k(n-k)\) שבהם השתמשנו כדי לחשב את איברי \(A\), שהם בלתי-תלויים אלה באלה. ניתן להוכיח באינדוקציה על מספר העמודות שמחליפים מתוך \(I_0\)). מכאן נקבל:
נרצה להציג \(\Gr(k, n) = \dotbigcup e^q\) כאיחוד זר. יהי \(\Lambda \subset \CC^n\) איבר ב־\(\Gr(k, n)\). ניתן לייצג את \(\Lambda\) באמצעות מטריצה \(k \times n\) מדורגת תחתונה: קיים \(M_I = I_k\) כך שלכל \(1\) ב־\(M_I\) יש מימינו ומתחתיו אפסים.
ייצוג זה הוא יחיד, ונתון על־ידי העמודות \(\{i_1, \dotsc, i_k\}\). כעת מתקיים \(\{\Lambda \mid \text{הדירוג נתון על־ידי } i_1, \dotsc, i_k\} \cong \CC^r \cong D^{2r}\) וניתן להשתמש בקבוצות אלו כתאים.
לכל \(1 \leq j \leq k\) נכתוב \(i_j = n - k + j - a_j\), אז \(a_j \geq 0\). נסמן את התאים \(e_a = e_{a_1, \dotsc, a_k} = W_{a_1, \dotsc, a_k}\).
להוכחת הלמה, נשתמש בהגדרה הבאה:
עבור מרחב \(\Lambda^k \in \CC^n\), נסמן ב־\(A_\Lambda\) את המטריצה המייצגת את \(\Lambda\) וצורתה קנונית כפי שהגדרנו, אז \(W_{a_1, \dotsc, a_k} = \{\Lambda \mid A_\Lambda \text{ has parameters } a_1, \dotsc, a_k\} \cong \CC^{k(n-k) - \sum a_j}\), כלומר זה תא ממימד \(2k(n-k) - 2 \sum a_j\). קיבלנו פירוק תאי (זר) לתאים ממימד זוגי, \(\Gr(k, n) = \dotbigcup_{\bar{a}} W_{\bar{a}}\). ניתן לחסום \(0 \leq a_j \leq n-k\).
נתבונן בדגל \(\bar{V} = \left\{0 \subsetneq V_1 \subsetneq \dotsb \subsetneq V_n = \CC^n\right\}\) הנתון על־ידי \(V_i = \Span\{e_1, \dotsc, e_i\}\), אז \[ \begin{align*} W_{\bar{a}} = W_{\bar{a}}\left(\bar{V}\right) &= \left\{\Lambda^k \subset \CC^n \middle| \begin{aligned} \forall 1 \leq j \leq k: \dim(\Lambda \cap V_{n-k+j-a_j}) &= j \\ \forall 1 \leq j \leq k, s \lt n-k+j-a_j: \dim(\Lambda \cap V_s) &\lt j \end{aligned}\right\} \\ \bar{W}_{\bar{a}} = \bar{W}_{\bar{a}}\left(\bar{V}\right) &= \left\{\Lambda^k \subset \CC^n \middle| \forall 1 \leq j \leq k: \dim(\Lambda \cap V_{n-k+j-a_j}) \geq j\right\} \end{align*} \] (עבור הסגוֹר, התנאי השני נובע מהראשון).
את עליית המימד ניתן להבין כך: לסדרה השואפת לנקודה בשפת \(W_{\bar{a}}\) יש סדרת מטריצות מייצגות קנוניות, שבה לפחות אחד האיברים שואף ל־\(\infty\). ננרמל את הסדרה לפי האיבר הזה, אז בגבול, ה־\(1\) הקנוני של השורה מתאפס, ולכן ה־\(1\) הקנוני החדש יהיה לשמאלו, כלומר \(a_j\) גדל, ולכן גם המימד. כעת, \(\bar{W}_{\bar{a}} = W_\bar{a} \cup \bigcup_{\substack{\bar{b} \geq \bar{a} \\ \bar{b} \neq \bar{a}}} W_{\bar{b}}\) יריעה מרוכבת קומפקטית. ייתכן שהיא סינגולרית, כי לא בדקנו את ההתנהגות בגבול, אבל סינגולריות לא תפריע לנו (כי החלק הסינגולרי הוא מקו־מימד לפחות \(2\)). עם זאת, למעשה מתקיים:
נסמן ב־\(\Cmc_i\) את החבורה החפשית הנוצרת על־ידי התאים ממימד \(i\), אז \(\Cmc_{2i+1} = 0\), ועבור ערכים זוגיים, \(\Cmc_0 = \ZZ \cdot W_{\overline{n-k}}\) (דיאגרמת יונג היחידה עם שטח \(k(n-k)\) היא כל המלבן, ומתאימה לתא \(W_{n-k, \dotsc, n-k}\)), \(\Cmc_2 = \ZZ \cdot W_{n-k, \dotsc, n-k, n-k-1}\), \(\dotsc\), \(\Cmc_{2s} = \bigoplus_{\sum a_j = k(n-k) - s} \ZZ \cdot W_{\bar{a}}\). \[ \dotsb \rightarrow \Cmc_{2s} \rightarrow 0 \rightarrow \dotsb \rightarrow 0 \rightarrow \Cmc_2 \xrightarrow{d_2} 0 \xrightarrow{d_1} \Cmc_0 \rightarrow 0 \]
מהתאפסות החבורות האי־זוגיות, \[ H_{2s}(\Gr(k, n)) \cong \Cmc_{2s} = \bigoplus_{\sum a_j = k(n-k) - s} \ZZ \cdot \sigma_{\bar{a}} \]
מדואליות Poincaré, \(H^{2s}(\Gr(k, n)) \cong H_{2k(n-k) - 2s} \cong \bigoplus_{\sum a_j = s} \ZZ \cdot \tilde{\sigma}_{\bar{a}}\).
הערה: המחלקות \(\sigma_{\bar{a}}\) ו־\(\tilde{\sigma}_{\bar{a}}\) אינן תלויות בבחירת הדגל \(\bar{V}\). אכן, המחלקות הן אינבריאנט הומוטופי, ולכן נשמרות בשינוי רציף של שרשרת המייצגת אותן. זה ניתן לביצוע עבור הדגל, ע"י שינוי רציף של הבסיס הפורש אותו. זה אפשרי מכיוון ש־\(\GL(n, \CC)\) קשירה מסילתית.
דוגמאות:
ניתן להגדיר מבנה כפלי על \(H_*\) ו־\(H^*\) באמצעות הנוסחה \(\sigma_{\bar{a}} \cdot \sigma_{\bar{b}} = \sum \delta\left(\bar{a}, \bar{b}; \bar{c}\right) \sigma_{\bar{c}}\). המקדמים \(\delta\left(\bar{a}, \bar{b}; \bar{c}\right)\) נקראים קבועי המבנה של האלגברה.
ניקח שתי מחלקות \(\sigma_{\bar{a}}, \sigma_{\bar{b}}\) שעבורן \(\dim \sigma_{\bar{a}} + \dim \sigma_{\bar{b}} = \sum a_j + \sum b_j = 2k(n-k)\), ונציג אותן באמצעות בחירת דגלים, \(\sigma_{\bar{a}} = \bar{W}_{\bar{a}}\left(\bar{V}\right), \sigma_{\bar{b}} = \bar{W}_{\bar{a}}\left(\bar{V}'\right)\). יהי \(\Lambda \in \bar{W}_{\bar{a}}\left(\bar{V}\right) \cap \bar{W}_{\bar{b}}\left(\bar{V}'\right)\), אז \[ \begin{align*} \dim\left(\Lambda \cap V_{n-k+j-a_j}\right) &\geq j \\ \dim\left(\Lambda \cap V_{n-k+(k-j+1)-b_{k-j+1}}'\right) &\geq k-j+1 \end{align*} \] ולכן \[ \dim\left(V_{n-k+j-a_j} \cap V_{n-k+(k-j+1)-b_{k-j+1}}'\right) \geq \dim\left(\Lambda \cap V_{n-k+j-a_j} \cap V_{n-k+(k-j+1)-b_{k-j+1}}'\right) \geq 1 \]
נניח כי \(a_j + b_{k-j+1} \gt n-k\), אז \((n-k+j-a_j) + (n-k+(k-j+1)-b_{k-j+1}) = 2n-k+1-(a_j+b_{k-j+1}) \leq n\). בהנחה ש־\(\bar{V}\) ו־\(\bar{V}'\) נפגשים כללית (כלומר טרנסברסלית: מימד כל חיתוך הוא מינימלי), נקבל כי \(V_{n-k+j-a_j} \cap V_{n-k+(k-j+1)-b_{k-j+1}}' = 0\) (כי הם מרחבים לינאריים).
נניח שלכל \(1 \leq j \leq k\) מתקיים \(a_j + b_{k-j+1} \leq n-k\).
דוגמאות:
תהי \(M \subset \PP^n\) תת־יריעה ממעלה \(2\), \(M = \left\{x_0^2 + \dotsb + x_n^2 = 0\right\}\). נתבונן בקבוצת הישרים \(\tau(M) = \{\ell \subset M\} \subset \Gr(2, n+1)\). זו תת־יריעה אלגברית, כי התנאי \(\ell \subset M\) הוא אלגברי: באופן כללי, ישר נחתך עם \(M\) בשתי נקודות \(p_1, p_2 \in M\), אז נוכל לכתוב \(\ell = \{\lambda p_1 + \mu p_2 = 0\}\). התנאי \(\ell \subset M\) ניתן לניסוח בכמה דרכים, למשל הצבה בשוויון המגדיר את \(M\), או מציאת נקודת חיתוך שלישית ושימוש במשפט Bezout. יתר־על־כן, \(\tau(M)\) תת־יריעה חלקה, ו־\(\codim \tau(M) = 3\), ולכן \([\tau(M)] \in H_{4(n-1)-6} = \Span\{\sigma_{30}, \sigma_{21}\}\), אז \[ [\tau(M)] = ([\tau(M)] \cdot \sigma_{n-1, n-4}) \cdot \sigma_{30} + ([\tau(M)] \cdot \sigma_{n-2, n-3}) \cdot \sigma_{21} \]
נקח דגל פרוייקטיבי \(p_0 \subset \ell_0 \subset \pi_0 \subset \Pi_0^3 \subset \dotsb \subset \PP^n\). אם \(p_0 \notin M\) אז בוודאי \(\ell \not\subset M\).
נתבונן במערכת התנאים \(p_0 \notin \ell_0, \ell \cap \ell_0 \neq \emptyset, \ell \subset \Pi_0^3\) ו־\(\ell \subset M\). היא מגדירה משטח \(M' = M \cap \Pi_0^3 \subset \Pi_0^3 \cong \PP^3\). ב־\(\PP^3\) יש ארבעה ישרים העוברים דרך נקודות החיתוך עם ישר נתון, ולכן \([\tau(M)] = 4 \cdot \sigma_{21}\).
מצאנו את הנוסחה \(\delta(a, b; c) = \sigma_a \cdot \sigma_b \cdot \sigma_{c^\vee}\), וחישבנו אותם במקרים פרטיים. קבועי המבנה (במקרה זה) נקראים מקדמי Littlewood-Richardson. ננסה לפתח דרכים לחשב אותם (יש דרכים ידועות לחשב את כולם, אך לא נוסחה סגורה).
המקדם \(\delta(a, b; c)\) אינו תלוי בבחירת \(n\) ו־\(k\).
הערה: ניתן להמשיך סדרה \(a_1 \geq a_2 \geq \dotsb \geq a_r \gt 0\) עם איברים \(a_i = 0\) לכל \(i \gt r\). לכן הדיאגרמה של \(\bar{a}\) ניתנת לבניה אם"ם \(k \geq r\) ו־\((n-k) \geq a_1\), ומובן שלכל בחירה כזו של \(n, k\) יש לדיאגרמה אותו משקל. האוניברסליות של \(\delta\) תקפה רק לאי־תלות במסגרת בחירה מתאימה של \(n, k\).
נראה אי־תלות ב־\(n\): נשכן \(i_1:\Gr(k, n) \into \Gr(k, n+1)\) באופן סטנדרטי, ע"י שיכון \(j_1:\CC^n \into \CC^{n+1}\), ואז \(\Lambda^k \subset \CC^n \into \CC^{n+1}\). נעתיק את המחלקה \(\sigma_a = [W_a\left(\bar{V}\right)]\) (כאשר \(\bar{V} = \bar{V}^n: 0 \subset V_1 \subset \dotsb \subset V_n = \CC^n\)) למחלקה הנתונה ע"י הדגל \(\bar{V}^{n+1}: 0 \subset \langle e_{n+1} \rangle \subset V_1 \oplus \langle e_{n+1} \rangle \subset \dotsb \subset V_n \oplus \langle e_{n+1} \rangle = \CC^{n+1}\). ההשפעה על כל תא היא הוספת עמודת אפסים משמאל למטריצה המייצגת (ובפרט למטריצה המדורגת). התא \(W_a\left(\bar{V}^n\right)\) עובר לתא \(W_a\left(\bar{V}^{n+1}\right)\) (המקדמים \(a_i\) נשמרים בזכות הזזת העמודות), כלומר קיבלנו שיכון \(i_1:W_a\left(\bar{V}^n\right) \into W_a\left(\bar{V}^{n+1}\right)\). כמובן, אף תא אחר אינו מועתק לתוך \(W_a\left(\bar{V}^{n+1}\right)\), ולכן \(i_1^{-1}\left(W_a\left(\bar{V}^{n+1}\right)\right) = W_a\left(\bar{V}^n\right)\). באינדוקציה, אותו הדבר נכון לסגור, \(i_1^{-1} \bar{W}_a\left(\bar{V}^{n+1}\right) = \bar{W}_a\left(\bar{V}^n\right)\).
לא ניתן להשוות את המחלקות \(\sigma_a\) בשני המרחבים, כי הן ממימדים שונים, אבל את מחלקות הקוהומולוגיה אפשר להשוות, ומתקיים \(\tilde{\sigma}_a^{\Gr(k, n)} = i_1^* \tilde{\sigma}_a^{\Gr(k, n+1)}\). (תרגיל: הראו זאת).
לסדרת השיכונים \(\Gr(k, n) \into \Gr(k, n+1) \into \dotsb\) נקח גבול ישר (כלמור איחוד, כאשר מפרשים את השיכונים כהכלות של תת־מרחבים), שנסמן ב־\(\Gr(k, \infty)\). נקבל שלמרחב הזה יש פירוק תאי, כאשר התאים נתונים ע"י דיאגרמות Young ברוחב \(k\) ובגובה בלתי־מוגבל. במרחב הזה אין דואליות בין מחלקות ההומולוגיה והקוהומולוגיה, אך עדיין מתקיים \(\tilde{\sigma}_a^{\Gr(k, n)} = i_{1, \infty}^* \tilde{\sigma}_a^{\Gr(k, \infty)}\). כאן, הקוהומולוגיה ניתנת להגדרה כגבול פרוייקטיבי של חבורות הקוהומולוגיה של המרחבים הסוף־מימדיים. אז אפשר "לחתוך" את הגבול במקום סופי כלשהו, וכבר ראינו את התייצבות מחלקות הקוהומולוגיה.
נגדיר שיכון נוסף, \(i_2:\Gr(k, n) \into \Gr(k+1, n+1)\) באמצעות \(\Lambda^k \mapsto \Lambda^k \oplus \langle e_{n+1} \rangle\). הפעם, נרחיב את הדגל \(\bar{V}^n\) על־ידי הוספת \(e_{n+1}\) בסוף: \(\bar{V}^{n+1}: 0 \subset V_1 \subset \dotsb \subset V_n \subset V_{n+1} = \CC^{n+1}\). התא \(W_a\left(\bar{V}^n\right)\) עובר לתוך \(W_{a'}\left(\bar(V)^{n+1}\right)\), כאשר \(a'\) מתקבל מ־\(a\) ע"י הוספת \(a_{k+1} = 0\). נגדיר מחלקות שקילות על סדרות ע"י הוספת אפסים מימין, אז \(a' = a\), ולכן יש לנו שיכון \(i_2:W_a\left(\bar{V}^n\right) \into W_a\left(\bar{V}^{n+1}\right)\). גם הפעם \(i_2^{-1} W_a\left(\bar{V}^{n+1}\right) = W_a\left(\bar{V}^n\right)\) (אם \(a_{k+1} = 0\). אחרת, התמונה ההפוכה ריקה), וכן \(\tilde{\sigma}_a^{\Gr(k, n)} = i_2^* \tilde{\sigma}_a^{\Gr(k+1, n+1)}\).
נקח גבול של מרחבים \(\Gr(k, \infty)\) (באופן דומה ל־\(i_2\)), ונגדיר אותו כמרחב \(\Gr(\infty, \infty)\). לכל \(0 \lt k \lt n\) קיים שיכון \(i_{k, n}:\Gr(k, n) \into \Gr(\infty, \infty)\), ומהתוצאות לעיל נובע שמתקיים \(\tilde{\sigma}_a^{\Gr(k, n)} = i_{k, n} \tilde{\sigma}_a^{\Gr(\infty, \infty)}\) (ממשיכים את \(a\) עם אינסוף אפסים, \((a_1, \dotsc, a_k, 0, 0, \dotsc)\)). מכיוון שחבורות הקוהומולוגיה הן פונקטוריאליות (מתחלפות עם משיכה לאחור), נקבל \[ \begin{align*} \tilde{\sigma}_a^{\infty, \infty} \cdot \tilde{\sigma}_b^{\infty, \infty} &= \sum_{|c| = |a|+|b|} \delta_{\infty, \infty}(a, b; c) \tilde{\sigma}_c^{\infty, \infty} \\ &\Downarrow i_{n, k}^* \\ \tilde{\sigma}_a^{k, n} \cdot \tilde{\sigma}_b^{k, n} &= \sum_{|c| = |a|+|b|} \delta_{\infty, \infty}(a, b; c) \tilde{\sigma}_c^{k, n} \end{align*} \] כלומר, לפי הגדרת קבועי המבנה, \(\delta_{k, n}(a, b; c) = \delta_{\infty, \infty}(a, b; c)\) (או \(0\), אם התמונה ההפוכה ריקה).
תהי \(c = (c_1, \dotsc, c_k)\) סדרה יורדת אי־שלילית, ונסמן ב־\(\ell(c)\) את אורך התת־סדרה החיובית המכסימלית שלה (אורך \(c\) לאחר מחיקת כל האפסים מימין), אז
יש דואליות של מרחבים לינאריים \(\CC^n \isomorph \left(\CC^n\right)^*\). היא משרה דואליות \(\ast:\Gr\left(k, \CC^n\right) \isomorph \Gr(n-k, \left(\CC^m\right)^*)\) ע"י \(\ast(\Lambda) = \operatorname{Ann}(\Lambda) = \{\varphi \in \left(\CC^n\right)^* \mid \phi|_\Lambda = 0\}\). זו אכן דואליות, כלומר \(\ast \circ \ast = \mathrm{Id}\).
בהנתן דגל \(\bar{V}: 0 \subset V_1 \subset \dotsb \subset V_n = \CC^n\), ניתן להגדיר את הדגל הדואלי \(\bar{V}^*: 0 \subset V_1^* \subset \dotsb \subset V_n^* = \left(\CC^n\right)^*\) ע"י \(V_m^* = \operatorname{Ann}(V_{n-m}) = \ast(V_{n-m})\) לכל \(1 \leq i \leq n\). עבור סדרה \(a = (a_1, \dotsc, a_k)\), \(\bar{W}_a = \{\Lambda \mid \forall i: \dim(\Lambda \cap V_{n-k+i-a_i}) \geq i\}\).
יהיו \(0 \lt k \lt n\) ויהיו \(\alpha, \beta, \gamma \geq 0\) שלושה מספרים שלמים המקיימים \(\alpha + \beta + \gamma = 2k+1\), אז \[ \delta\left(a, b; c^\vee\right) = (\sigma_a \cdot \sigma_b \cdot \sigma_c)_{\Gr(k, n)} = \begin{cases} \left(\sigma_{a - a_\alpha} \cdot \sigma_{b - b_\beta} \cdot \sigma_{c - c_\gamma}\right)_{\Gr(k-1, n-1)} & a_\alpha + b_\beta + c_\gamma = n-k \\ 0 & a_\alpha + b_\beta + c_\gamma \gt n-k \end{cases} \] כאשר הסדרה \(a - a_\alpha\) מוגדרת ע"י מחיקת האיבר ה־\(\alpha\): \(a - a_\alpha = (a_1, \dotsc, \hat{a}_\alpha, \dotsc, a_k)\) (וכנ"ל עבור \(b\) ו־\(c\)).
הערה: באמצעות המשפט הזה ניתן, במקרים מסויימים (כלומר אם לא מתקיים \(a_\alpha + b_\beta + c_\gamma\) לכל בחירה של \(\alpha, \beta, \gamma\)), להקטין את המימד עד לקבלת מרחב פרוייקטיבי, שבו אנחנו כבר יודעים את מבנה חוג הקוהומולוגיה.
במקרה \(a_\alpha + b_\beta + c_\gamma \gt n-k\) נראה שהחיתוך ריק, ולכן המכפלה מתאפסת. נקח דגלים טרנסברסליים \(\bar{V}, \bar{V}', \bar{V}''\), ויהי \(\Lambda \in \bar{W}_a\left(\bar{V}\right) \cap \bar{W}_b\left(\bar{V}'\right) \cap \bar{W}_c\left(\bar{V}''\right)\). נבחין שאם \(\alpha, \beta, \gamma \leq k\), (הכרחי לאינדקסים של סדרות ב־\(\Gr(k, n)\)), אז מהתנאי \(\alpha + \beta + \gamma = 2k + 1\) נובע \(\alpha, \beta, \gamma \geq 0\), ולכן \(\alpha, \beta, \gamma\) אכן מציינים איברים מתוך \(a, b, c\).
\[ \dim\left(\Lambda \cap V_{n-k+\alpha-a_\alpha} \cap V_{n-k+\beta-b_\beta}' \cap V_{n-k+\gamma-c_\gamma}''\right) \geq k - (k-\alpha) - (k-\beta) - (k-\gamma) = k - 3k + \alpha + \beta + \gamma = 1 \] ובפרט החיתוך אינו ריק. מצד שני, \[ \dim\left(V_{n-k+\alpha-a_\alpha} \cap V_{n-k+\beta-b_\beta}' \cap V_{n-k+\gamma-c_\gamma}''\right) \overset{\text{טרנסברסליות}}{=} n - (k-\alpha+a_\alpha) - (k-\beta+b_\beta) - (k-\gamma+c_\gamma) = n - 3k + (\alpha + \beta + \gamma) - (a_\alpha + b_\beta + c_\gamma) = n - k + 1 - (a_\alpha + b_\beta + c_\gamma) \leq n - k + 1 - (n - k + 1) = 0 \] זו סתירה, ולכן \(\bar{W}_a\left(\bar{V}\right) \cap \bar{W}_b\left(\bar{V}'\right) \cap \bar{W}_c\left(\bar{V}''\right) = \emptyset\).
במקרה \(a_\alpha + b_\beta + c_\gamma = n-k\) אם קיים \(\Lambda \in \bar{W}_a\left(\bar{V}\right) \cap \bar{W}_b\left(\bar{V}'\right) \cap \bar{W}_c\left(\bar{V}''\right)\), נקבל באותו האופן \[ \left\{ \begin{aligned} \dim\left(\Lambda \cap V_{n-k+\alpha-a_\alpha} \cap V_{n-k+\beta-b_\beta}' \cap V_{n-k+\gamma-c_\gamma}''\right) &\geq 1 \\ \dim\left(V_{n-k+\alpha-a_\alpha} \cap V_{n-k+\beta-b_\beta}' \cap V_{n-k+\gamma-c_\gamma}''\right) &= 1 \end{aligned} \right. \] כלומר \(L = V_{n-k+\alpha-a_\alpha} \cap V_{n-k+\beta-b_\beta}' \cap V_{n-k+\gamma-c_\gamma}''\) תת־מרחב ממימד \(1\), ומשמעות האי־שוויון הראשון היא ש־\(L \subset \Lambda\). בפרט, \(L\) הוא תת־מרחב משותף לכל האיברים \(\Lambda \in \bar{W}_a\left(\bar{V}\right) \cap \bar{W}_b\left(\bar{V}'\right) \cap \bar{W}_c\left(\bar{V}''\right)\).
נתבונן בהעתקת המנה \(\pi: \CC^n \to \CC^n/L \cong \CC^{n-1}\). היא משרה העתקה של דגלים \(\bar{V} \mapsto \bar{V}/L\) באופן הבא: לכל \(1 \leq i \lt n-k+\alpha-a_\alpha\), \(V_i \mapsto V_i^\pi\) תתי־מרחבים מאותו מימד. לכל \(n-k+\alpha-a_\alpha \leq i \leq n\), \(V_i \mapsto V_{i-1}^\pi\) תת־מרחב ממימד קטן ב־\(1\). (ההפרדה היא בדיוק באינדקס \(n-k+\alpha-a_\alpha\), כי שני הדגלים האחרים \(\bar{V}', \bar{V}''\) טרנסברסליים). ההעתקה הזו נותנת פעמיים את המרחב \(V_{n-k+\alpha-a_\alpha-1}^\pi\), אז נשמיט עותק אחד.
מכאן ניתן להראות ש־\(\pi\) משרה איזומורפיזם על החיתוך של התאים, בהתאם לטענת המשפט.
לכל \(a_\alpha, b_\beta, c_\gamma\) (הפעם נניח \(\alpha, \beta, \gamma \geq 0\), ונגדיר (אני לא מצליח לקרוא מה כתבתי.) ) המקיימים \(a_\alpha + b_\beta + c_\gamma \geq 2(n-k) + 1\), מתקיים \[ (\sigma_a \cdot \sigma_b \cdot \sigma_c)_{\Gr(k, n)} = \begin{cases} (\sigma_{a'} \cdot \sigma_{b'} \cdot \sigma_{c'})_{\Gr(k, n-1)} & \alpha + \beta + \gamma = k \\ 0 & \alpha + \beta + \gamma \gt k \end{cases} \] כאשר הסדרות המצומצמות מוגדרות ע"י \(a' = (a_1-1, \dotsc, a_\alpha-1, a_{\alpha+1}, \dotsc, a_k)\), ובאופן דומה גם עבור \(b'\) ו־\(c'\).
הערה: המשפט הזה דואלי למשפט 1 ביחס לדואליות של יריעות Grassmann, שנותנת \(\Gr(k, n-1) \cong \Gr((n-k)-1, n-1)\), ומחליפה את הערכים \(\alpha, \beta, \gamma\) עם \(a_\alpha, b_\beta, c_\gamma\). כאן ייתכן שהסדרה המצומצמת שנקבל אינה יורדת. במקרה כזה, האיבר המתאים (למשל \(\sigma_{a'}\)) יתאפס לפי הגדרה, ואתו כל המכפלה.
המקרה \(\alpha + \beta + \gamma \gt k\). נסמן \(a_\alpha = \alpha^*\) ובאופן דומה \(\beta^*, \gamma^*\). \(a_{\alpha^*}^* \geq \alpha\), ולכן גם \(a_{\alpha^*}^* + b_{\beta^*}^* + c_{\gamma^*}^* \gt k\). אם \(\alpha^* + \beta^* + \gamma^* = 2(n-k) + 1\), אז ממשפט 1 עבור \(n-k, n\) נקבל את התאפסות המכפלה.
אם \(\alpha^* + \beta^* + \gamma^* \gt 2(n-k) + 1\), נחליף את \(\alpha^*\) ב־\((\alpha^* - 1)\) (בהנחה ש־\(\alpha^* \gt 0\). בכל מקרה, לפחות אחד האינדקסים חיובי). אם \(a_{\alpha^*-1}^* = a_{\alpha^*}^*\), נמשיך להקטין את \(\alpha^*\), עד שנגיע לשוויון \(\alpha^* + \beta^* + \gamma^* = 2(n-k) + 1\). ייתכן כי \(a_{\alpha^*-1}^* \gt a_{\alpha^*}^*\), ואז עדיין מתקיים \(a_{\alpha^*-1}^* + b_{\beta^*}^* + c_{\gamma^*}^* \gt k\), ושוב נוכל להקטין את \(\alpha^*\) עד שניתן להשתמש במשפט 1.
שני משפטי הצמצום האלה אינם אוניברסליים: יש מקרים שהם אינם מכסים.
יש להוכיח כי בתנאי \(\sum c_i = a + \sum b_i\) מתקיים \[ \delta(a, b; c) = \begin{cases} 1 & \forall i: b_i \leq c_i \leq b_{i-1} \\ 0 & \text{אחרת} \end{cases} \]
נבחר \(k = \ell(c)\) ו־\(n = c_1 + k\) (אלה הערכים המינימליים), אז ניתן לחשב \(\delta(a, b; c)_{\Gr(k, n)} = \sigma_a \sigma_b \sigma_{c^\vee}\) עבור \(c^\vee = (c_1-c_k, \dotsc, c_1-c_2, 0)\).
מקרה א' — נניח שקיים \(i\) שעבורו \(c_i \lt b_{i-1}\), אז \(c_1 + b_{i-1} + (c_1-c_i) = 2c_1 + b_{i-1} - c_i \geq 2c_1 + 1\). נכתוב \(c_1 = n-k = a_0\) (ניתן להרחיב סדרה גם לשמאל באמצעות ההגדרה הזו), ו־\(c_1-c_i = c_{k-i+1}^\vee\). \(0 + (i-1) + (k-i+1) = k\), וממשפט הצמצום השני, נקבל \[ (\sigma_a \sigma_b \sigma_{c^\vee})_{\Gr(k, n)} = \left(\sigma_a \cdot \sigma_{\underbrace{(b_1 - 1, \dotsc, b_i - 1, b_i, \dotsc)}_{b^\vee}} \cdot \sigma_{\underbrace{(c_1-c_k-1, \dotsc, c_1-c_i-1, c_1-c_{i+1}, \dotsc)}_{(c^\vee)' = (c')^\vee}}\right)_{\Gr(k, n-1)} = \delta\left(a, b'; c'\right) \] כאשר \(c' = (c_1-1, \dotsc, c_{i-1}-1, c_i, \dotsc, c_k)\).
מקרה ב' — נניח שלכל \(i\), \(c_i \geq b_{i-1}\), ושקיים \(i\) שעבורו \(c_i \lt b_i\), אז נקבל \(b_{i-1} \leq c_i \lt b_i\), בסתירה למונוטוניות \(b\). נקבל שלפי הגדרה \(\sigma_b = 0\), ולכן גם \(\delta(a, b; c) = 0\).
ניתן לחשב ציקלוס כללי באמצעות ציקלוסים אלמנטריים: \[ \sigma_{(a_1, \dotsc, a_d)} = \begin{vmatrix} \sigma_{a_1} & \sigma_{a_1 + 1} & \cdots & \sigma_{a_1 + d - 1} \\ \sigma_{a_2 - 1} & \sigma_{a_2} & \cdots & \sigma_{a_2 + d - 2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sigma_{a_d - d + 1} & \sigma_{a_d - d + 2} & \cdots & \sigma_{a_d} \end{vmatrix}_{d \times d} \]
נחשב את צד ימין של השוויון באמצעות נוסחת Pieri: \[ \sigma_{a_j + d - j} \sigma_{\underbrace{(a_1, \dotsc, a_{j-1}, a_{j+1}-1, \dotsc, a_d-1)}_{a'}} = \sum_{\substack{\sum c_i = a_j + d - j + \sum a_i' = \sum a_i \\ a_i' \leq c_i \leq a_{i-1}' \\ (a_i' - i \leq c_i - i \leq a_{i-1}' - i)}} \sigma_c \]
עבור
\(j \gt i\),
האי־שוויון הוא
\(a_i - i \leq c_i - i \leq a_{i-1} - i\).
עבור
\(j = i\),
האי־שוויון הוא
\(a_{i+1} - i \leq c_i - i \leq a_i - i\).
עבור
\(j \lt i\),
האי־שוויון הוא
\(a_{i+1} - i - 1 \leq c_i - i \leq a_i - i - 1\).
לכן איברי
\(c_i - i\)
נמצאים בקטעים הזרים
\(\dotsc, [a_2-2, a_1-1], [a_1-1, n-k]\)
כאשר
\(j \gt i\);
\([a_{j+1}-j-1, a_j-j-1], [a_j-j, a_{j-1}-j]\)
כאשר
\(j = i\);
ו־\([a_{i+1}-i-1, a_i-i-1]\)
כאשר
\(j \lt i\).
כל הקטעים האלה זרים בזוגות, וכל אחד מהם מכיל לכל היותר אחד מהאיברים \(c_i - i\). יש \(d\) איברים כאלה, ו־\(d+1\) קטעים (שניים למקרה \(j = i\)), ומכאן שיש בדיוק קטע אחד שאינו מכיל איבר \(c_i - i\).
מקרה א' — נניח שהקטע ה"ריק" הוא \([-d-1, a_d-d-1]\), המתאים ל־\(j = d\), אז לכל \(i \lt d\), \(a_i - i \leq c_i - i \leq a_{i-1} - i\), ולכן \(a_i \leq c_i \leq a_{i-1}\). כמו־כן, \(\sum a_i = \sum c_i\), ולכן לכל \(i\) בהכרח מתקיים \(a_i = c_i\). באגף ימין של הנוסחה, נקבל שהתרומה של מקרה זה היא \((-1)^d \sigma_{(a_1, \dotsc, a_d)}\), וזה אגף שמאל.
מקרה ב' — נניח שהקטע ה"ריק" הוא הקטע הראשון, \([a_1 - 1, n-k]\), המתאים ל־\(j = 0\), אז לכל \(i \gt 0\), \(a_{i+1} - i - 1 \leq c_i - i \leq a_i - i - 1\), ולכן \(a_{i+1} - 1 \leq c_i \leq a_i - 1\), אבל \(\sum a_i = \sum c_i\), וזה לא ייתכן. לכן אין איברים \(\sigma_c\) כאלה, ולמקרה זה אין תרומה לסכום.
מקרה ג' — נניח שקטע \([a_\ell - \ell, a_{\ell-1} - \ell]\) כלשהו הוא "ריק", עבור \(1 \lt \ell \lt d\), אז \[ \begin{array}{crlcrl} (i \lt \ell) & a_i - i &\leq c_i - i \leq a_{i-1} - i &\Rightarrow & a_i &\leq c_i \leq a_{i-1} \\ (i \gt \ell) & a_{i+1} - i - 1 &\leq c_i - i \leq a_i - i - 1 &\Rightarrow & a_{i+1} - 1 &\leq c_i \leq a_i - 1 \\ (i = \ell) & a_{\ell+1} - \ell - 1 &\leq c_\ell - \ell \leq a_\ell - \ell - 1 &\Rightarrow & a_{\ell+1} - 1 &\leq c_\ell \leq a_\ell - 1 \end{array} \] שוב, מהשוויון \(\sum a_i = \sum c_i\) נקבל תרומה של מחוברים מהצורה \((-1)^j \sigma_c\) עבור \(j \in \{\ell - 1, \ell\}\) (תלוי איזה משני הקטעים של המקרה \(j = i\) היה "ריק"). המחוברים האלה מתבטלים זה עם זה.
לא ייתכן ששני הקטעים השייכים למקרה \(j = i\) אינם ריקים, כי הם שניהם תת־קטעים משלימים של קטע המכיל (לפי האי־שוויון בסכימה) רק איבר אחד.
אין נוסחה סגורה למקדמים \(\delta(a, b; c)\), אבל בעשור האחרון ניתן להם תיאור קומבינטורי, כמספר האובייקטים המקיימים תכונות מסויימות: מספר הדרכים לבנות חלת־דבש משולשת בעלת צלע \(k\) עם צלעות ממושקלות, כך שמתקיים תנאי קמירות מסוים. ניתן למצוא פרטים נוספים במאמר של Knutson ו־Tao.
ניתן גם להגדיר קוהומולוגיה קוואנטית, שלה יש מקדמי Littlewood-Richardson קוואנטיים.
נראה דוגמה לשימוש במשפטים לעיל: יהיו \(\ell_1, \ell_2, \ell_3, \ell_4 \subset \PP^3\) קוים ישרים כלליים. לכמה ישרים \(\ell \subset \PP^3\) מתקיים \(\forall i: \ell \cap \ell_1 \neq \emptyset\)?
זו שאלה על נקודות ב־\(\Gr(2,4)\). זו יריעה ממימד \(4\), ואנו מטילים ארבעה תנאים, ולכן נצפה לתשובה סופית. לכל \(i\), ראינו כי ניתן לבחור דגל עבורו \(W_{(1, 0)} = \{\ell \cap \ell_i \neq \emptyset\}\). לכן התשובה נתונה על־ידי \[ \sigma_{10}^4 = \left(\sigma_{10}^2\right)^2 \overset{\text{נוסחת Pieri}}{=} \left(\sigma_{11} + \sigma_{20}\right)^2 = \underbrace{\sigma_{11}^2}_1 + \underbrace{2 \sigma_{11} \sigma_{20}}_0 + \underbrace{\sigma_{20}^2}_1 = 2 \]
מהם שני הקוים האלה? נבנה דגל פרייקטיבי \(p_i \in \ell_i \subset P_i \subset \PP^3\). המחלקה \(\sigma_{11} = [W_{11}]\) מתאימה לתא \(W_{11} = \{\ell \subset P_i\}\), והמחלקה \(\sigma_{20} = [W_{20}]\) מתאימה לתא \(W_{20} = \{p_i \in \ell\}\). לכן שני הישרים נתונים באופן מפורש ע"י המחלקות \[ \sigma_{11}^2 = [\ell = P_1 \cap P_2] \qquad \sigma_{20}^2 = [p_1, p_2 \in \ell] \]
נותרת השאלה האם שני הקוים האלה זהים או שונים זה מזה. התשובה לשאלה תלויה בטרנסברסליות של המחלקות (תרגיל: למצוא את התלות ב־\(\ell_1, \ell_2, \ell_3, \ell_4\)).
המשפט הזה תקף לחשבון Schubert, כי יש פעולה של \(\GL(n, \CC)\) על \(\Gr(k, n)\). אנחנו מעוניינים בחיתוכים ממימד \(0\), כלומר בספירה של נקודות. המספר הזה סופי, ונקודה בודדת היא כללית, ולכן נקבל את הטרנזיטיביות.
נגדיר העתקה \(F:G \times Y \to X\) ע"י פעולת \(G\), \(F(s, y) = sy\). תהיינה \(U, V\) הקבוצות הנתונות ע"י הלמה הקודמת עבור \(F\). לכל \(q \in V\), היריעה \[ F^{-1}(q) = \{(s, y) \mid sy = q\} = \bigcup_{y \in Y} \underbrace{\{s \in G \mid sy = q\}}_{g_y^{-1}(q)} \] היא ממימד \(\dim F^{-1}(q) = \dim G + \dim Y - \dim X\). כאן הגדרנו את ההעתקה \(g_y:G \onto X\) על־ידי \(s \mapsto sy\).
כמן־כן, \(\rank DF_{(s, y)} = \dim X\), ולכן ההרמה הסובמרסיבית \(F^{-1}\left(\mathring{Z}\right)\) היא תת־יריעה ממימד \(\dim F^{-1}(Z) = \dim F^{-1}\left(\mathring{Z}\right) = \dim G + \dim Y - \dim X + \dim Z\). נתבונן בצמצום של ההטלה \(\widehat{\pr}_1:F^{-1}(Z) \xrightarrow{\pr_1} G\). אם ההטלה אינה על, אז קיים \(s \notin \pr_1\left(F^{-1}(Z)\right)\), או באופן שקול \(sY \cap Z = \emptyset\).
נניח ש־\(\widehat{\pr}_1\) על, אז לנקודה כללית \(s_0 \in G\) מתקיים \(\dim \widehat{\pr}_1^{-1}(s_0) = \dim Y + \dim Z - \dim X\). נראה כי \(F|_{\widehat{\pr}_1^{-1}(s_0)}:\widehat{\pr}_1^{-1}(s_0) \isomorph s_0 Y \cap Z\) (ניתן לצמצם משום ש־\(\widehat{\pr}_1^{-1}(s_0) \subset F^{-1}(Z)\)) והדיפרנציאל אינו מנוון, ולכן יש שיכון.
נחקור בעיקר את המקרה המרוכב, אך נעסוק גם ביריעות ממשיות. קיימת גם תורה החוקרת יריעות סימפלקטיות (וסופרת בהן עקומות פסאודו־הולומורפיות). לדוגמה:
ספירת קוניקות מישוריות — ספרנו בעבר ישרים (עקומות ממעלה \(1\)). ננסה להגדיל את המעלה. אנחנו עדיין עוסקים בעקומות (יריעה חד־מימדית), שבהן ניתן להשתמש בתורת החיתוכים במרחב מודולים (עד כאן יריעת Grassmann שימשה בתפקיד הזה). במקרה של יריעה ממימד גבוה יותר, לא נוכל להשתמש בכל הכלים האלה.
תהי \(C \subset \PP^2\) עקומה. ניתן לתאר אותה בשתי דרכים: או כמשוואה \(f(x_0:x_1:x_2) = 0\) או כתמונת העתקה \(\mu:\PP^1 \to \PP^2\). למרות הפשטות של הגישה הראשונה, הגישה השנייה מספקת יותר כלים לפתרון השאלה. בעיה לדוגמה עם הגישה של משוואות היא שעקומות ב־\(\PP^3\) דורשות זוג משוואות, אך ניתן למצוא כאלה שדורשות שלוש, ואז נקבל מערכת מוגדרת־יתר (overdetermined). באמצעות התיאור כמשוואה, יש התאמה בין קוניקות \(C\) למשוואות \(f_2(x_0:x_1:x_2) = 0\), ונקבל שמרחב המודולים הוא \(\PP^5\). ביתר פירוט, המבנה של המרחב הוא:
שני המקרים האחרונים יחד מהווים את הדיסקרימיננט \(\Delta \subset \PP^5\), שהוא תת־יריעה ממימד \(4\) ומעלה \(3\). תת־היריעה מוגדרת על־ידי המשוואה \(X^t A X = 0\), כלומר \(\det A_{33} = 0\). המקרה השלישי (ישרים כפולים) \(W \subset \Delta^4 \subset \PP^5\) שקול לקבוצת הישרים ב־\(\PP^2\), כלומר \(W \cong \left(\PP^2\right)^* \cong \PP^2\), ולכן זו יריעה ממימד \(2\) (תרגיל: מהי המעלה \(\dim W\)?).
לצורך בעית הספירה, נציב את התנאים הבאים:
הסימטריה נובעת מהדואליות של עקומות מישוריות.
נקודות ב־\(\PP^2\) מתאימות לישרים ב־\(\left(\PP^2\right)^*\). תהי \(C \subset \PP^2\) עקומה. בכל נקודה \(z \in C\) נבחר את המשיק ל־\(C\) ב־\(z\), \(z \in C \subset \PP^2 \mapsto \ell_z \subset \PP^2 \mapsto L_z \in \left(\PP^2\right)^*\). ההעתקה הזו מתאימה עקומה \(C \subset \PP^2 \mapsto C^* \subset \left(\PP^2\right)^*\). אלגבריוּת ונקודות סינגולריוֹת נשמרות ע"י ההעתקה, ומתקיים \(\left(C^*\right)^* = C\) תחת הזיהוי הטבעי \(\left(\left(\PP^2\right)^*\right)^* = \PP^2\).
יוצא הדופן לכלל זה הוא ישר, שאותו ההעתקה הדואלית מתאימה לנקודה בודדת. אבל לעקומות לא־מנוונות ממעלה גבוהה יותר הגישה תעבוד.
ההתאמה \(C_2 \leftrightarrow (C_2)^*\) לוקחת את הנקודה \(p = X_0 \in \left\{X^t A X = 0\right\}\) לישר \(A X_0\), כלומר זו העתקה פרוייקטיבית הנתונה על־ידי \(A\). כמו־כן, היא מתאימה נקודה \(p \in \PP^2\) לישר \(\mathcal{L}_p \subset \left(\PP^2\right)^*\) וישר \(\ell \subset \PP^2\) לנקודה \(L \in \left(\PP^2\right)^*\).
מהגדרת הדואליות, השקה לישר מתאימה למעבר דרך הנקודה הדואלית לו, ולהיפך. לכן \[ N_{k, m}\left(\PP^2\right) = N_{m, k}\left(\left(\PP^2\right)^*\right) = N_{m, k}\left(\PP^2\right) \]
הצלחנו לפתור את הדוגמה האחרונה בגישה המייצגת עקומות באמצעות משוואות. ננסה כעת לפתור אותה שוב, בגישה המציגה את העקומה כתמונת העתקה לתוך \(\PP^2\). נסמן ב־\(\overline{\Mmc_{0, 0}\left(\PP^2, 2\right)}\). את מרחב ההעתקות ממעלה \(2\) של עקומות רציונליות ל־\(\PP^2\), עד כדי שקילות (שנגדיר במדויק בהמשך). האפס הראשון מציין את הגנוס (\(0\) לעקומות רציונליות), והשני מציין את מספר הנקודות המסומנות. מהו המבנה של המרחב הזה (גם נגדיר אותו יותר במדויק)?
הקבוצה \(\Mmc_{0, 0}\left(\PP^2, 2\right)\) של מחלקות ההעתקות \(\left[\mu:\PP^1 \to \PP^2\right]\) ממעלה \(2\) בהומולוגיה, כלומר \(\mu_*\left(\PP^1\right) = 2 \left[\PP^1\right] \in H_2\left(\PP^2\right)\), \[ \Mmc_{0, 0}\left(\PP^2, 2\right) = \left\{\left[\mu: \PP^1 \to \PP^2\right] \middle| \deg \mu\left(\PP^1\right) = 2\right\} \]
מחלקות השקילות של ההעתקות הן ביחס לרה־פרמטריזציה של \(\PP^1\), כלומר \(\mu_1 \sim \mu_2\) אם"ם קיים איזומורפיזם \(\phi:\PP^1 \isomorph \PP^1\) שעבורו \(\mu_1 = \mu_2 \circ \phi\).
יש שני מקרים אפשריים לתמונה \(\mu\left(\PP^1\right) = C \subset \PP^2\): זו יריעה חלקה או קו כפול. היא אינה יכולה להיות זוג ישרים שונים, כי \(\PP^1\) אי־פריק, ולכן גם תמונתו אי־פריקה. נקבל שלהעתקה \(\Mmc_{0, 0}\left(\PP^2, 2\right) \to \PP^5\) הנתונה ע"י \(\left[\mu:\PP^1 \to \PP^2\right] \mapsto \mu\left(\PP^1\right)\) יש את התמונה \(\left(\PP^5 \setminus \Delta\right) \cup W\).
מכאן, שיש התאמה חח"ע ועל בין קבוצת האימרסיות לעקומות החלקות: \(\Mmc_{0, 0}^{\text{im}}\left(\PP^2, 2\right) \leftrightarrow \PP^2 \setminus \Delta\). עבור \(2 \ell \in W\), נקבל כיסוי דו־יריעתי \(\mu:\PP^1 \xrightarrow{2} \ell\). נבחין כי \(\chi\left(\PP^1\right) = \chi(\ell) = 2\), ובכיסוי לא־מסועף היינו מקבלים מציין אוילר \(2 \cdot 2 \neq 2\), ולכן יש לכיסוי שתי נקודות הסתעפות (ואז \(2 \cdot 2 - 2 = 2\)).
מבחינה אלגברית, \(\mu:\PP^1 \to \ell \cong \PP^1\). נבחר קואורדינטות \(\mu:(x_0:x_1) \mapsto (y_1:y_2)\). מטרנזיטיביות של ההעתקות הפרויקטיביות, ניתן להניח כי \(\ell = \{y_0 = 0\}\), ואז \[ \left\{ \begin{aligned} y_1 &= \phi(x_0, x_1) \\ y_2 &= \psi(x_0, x_1) \end{aligned} \right. \] עבור פולינומים ריבועיים \(\phi, \psi\). היעקוביאן \[ J = \begin{vmatrix} \phi_{x_0} & \phi_{x_1} \\ \psi_{x_0} & \psi_{x_1} \end{vmatrix} \] גם הוא פולינום ממעלה \(2\), ולכן מתאפס בשתי נקודות. הן חייבות להיות שונות זו מזו: טופולוגית, נקודות הסתעפות אינן יכולות להתלכד. אפשר גם להראות זאת בחישוב.
כמסקנה, נקבל שבנוסף לתמונה \(\ell = \mu\left(\PP^1\right)\), ההעתקה \(\mu\) גם נותנת לנו את המידע על זוג נקודות ההסתעפות \(z_1, z_2 \in \ell\).
כלומר החלק המתאים של מרחב המודולים, \(\Mmc_{0, 0}^{\text{mt}}\left(\PP^2, 2\right)\) (לציון multiple עבור כיסויים מרובים), נראה כבחירה של ישר, וזוג לא־סדור של נקודות שונות עליו.
קבוצת הזוגות (או ה־\(n\)־יות) הלא־סדורות ב־\(\PP^1\) איזומורפית ל־\(\PP^2\) (או, בהתאמה, ל־\(\PP^n\)).
במקרה שלנו, אנחנו דורשים שזוג הנקודות יהיה של נקודות שונות, ולכן נקבל \(\PP^2 \setminus \PP^1\). כלומר, ההעתקה \(\Mmc_{0, 0}^{\text{mt}}\left(\PP^2, 2\right) \xrightarrow{\PP^2 \setminus \PP^1} W\) היא על.
הקומפקטיפיקציה נעשית באמצעות השלמה המכסה את קבוצת זוגות הישרים: לקוניקות מהצורה \(xy = \epsilon\) נקבל בגבול \(\epsilon \to 0\) נקודה גבולית של סדרת העתקות \(\mu_\epsilon: \PP^1 \to \PP^2\). כדי לתאר את הגבול כהעתקה, אנחנו צריכים מקור פריק. נקח זר של שני ישרים, \(\PP^1 \cup \PP^1\), עם נקודה משותפת אחת, אז יש לנו התאמה \(\left\{\left[\mu:\PP^1 \cup \PP^1 \to \PP^2\right]\right\} \leftrightarrow \{xy = 0\}\).
למרחב \(\PP^1 \cup \PP^1\) יש גנוס אריתמטי \(0\), כדפורמציה של עקומה חלקה, שבה הדבקנו שתי נקודות זו לזו. שתי העתקות \(\mu_1, \mu_2:\PP^1 \cup \PP^1 \to \PP^2\) הן שקולות אם"ם קיים איזומורפיזם \(\phi:\PP^1 \cup \PP^1 \to \PP^1 \cup \PP^1\) שעבורו \(\mu_1 = \mu_2 \circ \phi\). \(\phi\) מורכב משני איזומורפיזמים של \(\PP^1\) המקבעים את נקודת החיתוך, ועל סדר הישרים (או, באופן שקול, הבחירה של \(\mu_1, \mu_2\) גם קובעת את סדר הישרים).
נקבל התאמה חח"ע ועל \(\Bnd \Mmc_{0, 0}\left(\PP^2, 2\right) \leftrightarrow \{\text{זוגות ישרים}\}\), פרט למקרה הגבולי, שבו שני הישרים מתלכדים. הגבול הזה הוא קו כפול, אבל עם נקודה מסומנת אחת — היא נקודת החיתוך.
הכיסוי של \(\Bnd \Mmc_{0, 0}\left(\PP^2, 2\right)\) על הישרים הכפולים הוא עם סיב \(\PP^1\) (בחירת הנקודה המסומנת), ומשלים את החלק \(\Mmc_{0, 0}^{\text{mt}}\left(\PP^2, 2\right)\), המכסה את \(W\). כיסוי \(\mu:\PP^1 \cup \PP^1 \to (2 \ell, p)\) (של ישר עם נקודה מסומנת) מתיר איזומורפיזמים המחליפים את שני הישרים, כי לכל נקודה יש שני מקורות. לסיכום, יש התאמה \[ \Bnd \Mmc_{0, 0}\left(\PP^2, 2\right) \leftrightarrow \left\{\PP^1 \cup \PP^1 \subset \PP^2\right\} \cup \left\{\left(\PP^1, p\right) \subset \PP^2\right\} \]
יש לנו העתקה \(\overline{\Mmc_{0, 0}\left(\PP^2, 2\right)} \to \PP^5\), הנתונה על־ידי \(\left[\mu:\Sigma \to \PP^2\right] \mapsto \mu(\Sigma)\). זה מורפיזם אלגברי (נובע מהמשפט). ראינו כי ההעתקה היא על, וכן חח"ע מעל \(\PP^5 \setminus W\) (כלומר לעקומות חלקות ולזוגות ישרים). מעל \(W\), יש כיסוי עם סיב \(\PP^2\), \(\overline{\Mmc_{0, 0}^{\text{mt}}\left(\PP^2, 2\right)} \xrightarrow{\PP^2} W\). גם \(W \cong \PP^2\) היא ממימד \(2\), ולכן \(\overline{\Mmc_{0, 0}^{\text{mt}}\left(\PP^2, 2\right)}\) על־משטח (ממימד \(4\) ב־\(\PP^5\)). למעשה, \(\overline{\Mmc_{0, 0}\left(\PP^2, 2\right)}\) הוא הניפוח של \(\PP^5\) לאורך \(W\) (הסיב \(\PP^2\) הוא הפרוייקטיביזציה של המרחב הנורמלי \(\CC^5 / \CC^2 \cong \CC^3\) בכל נקודה של \(W\)).
נחזור לשאלת הספירה שלנו: עבור העתקה \(\mu:\Sigma \to \PP^2\), התנאי של מעבר בנקודה \(p \in C\) הוא \(\mu^{-1}(p) \neq \emptyset\). התנאי ש־\(C\) משיקה ל־\(\ell\) הופך לתנאי (אני לא מצליח לקרוא מה כתבתי.)
נוכל להשתמש בשיטה הזו כדי לטפל במקרים הבעייתיים שהיו בגישה הקודמת:
במקרה \(k=2, m=3\) — היה לנו קו כפול דרך שתי הנקודות \(p_1, p_2 \in \ell\). \(\ell\) נחתך עם שלושה ישרים אחרים, אבל יש לו לכל היותר שתי נקודות הסתעפות, ולכן לפחות אחד החיתוכים חייב להיות טרנסברסלי, ולא השקה. במלים אחרות, המקרה הזה אינו נספר תחת ההגדרה החדשה של השקה.
עבור הבעיה של ספירת קוניקות במישור, בנינו את המודל של מרחב המודולים של פולינומים, שהוא \(\PP^5\). בנוסף בנינו את המרחב \(\Mmc_{0, 0}\left(\PP^2, 2\right)\) של העתקות \(\mu:\PP^1 \to \PP^2\), המכיל יותר מידע. השלמנו את המרחב הזה באמצעות עקומות פריקות מגנוס אריתמטי \(0\), \[ \overline{\Mmc_{0, 0}\left(\PP^2, 2\right)} = \Mmc_{0, 0}\left(\PP^2, 2\right) \cup \left\{\left[\mu:\PP^1 \vee \PP^1 \to \PP^2\right]\right\} \] ההעתקה הטבעית \[ \begin{align*} \pi:\bar{\Mmc}_{0, 0}\left(\PP^2, 2\right) &\to \PP^5 \\ \left[\mu:C \to \PP^2\right] &\to \mu\left(C\right) \subset \PP^2 \end{align*} \] מכסה את תמונתה באופן הבא: \[ \begin{align*} \Mmc_{0, 0}^{\text{im}}\left(\PP^2, 2\right) &\isomorph \mathring{\PP}^5 \subset \PP^5 \\ E^4 = \overline{\Mmc_{0, 0}^{\text{mt}}\left(\PP^2, 2\right)} &\xrightarrow{\PP^2} \underbrace{W}_{\cong \PP^2} \subset \PP^5 \\ \bar{\Mmc}_{0, 0}^{\text{red}}\left(\PP^2, 2\right) &\isomorph \{\text{זוגות ישרים}\} \end{align*} \]
רעיון ההוכחה: עבור נקודות בקבוצה \(\mathring{\Mmc}_{0, 0}\left(\PP^2, 2\right)\), הטענה ברורה. עבור נקודות מעל זוגות ישרים, כלומר מהצורה \(xy = 0\), נגדיר דפורמציה באמצעות פרמטרים מקומיים \((x + \epsilon_1 u + \epsilon_2) (y + \epsilon_3 x + \epsilon_4) = \epsilon_5\), שהיא חלקה בסביבת הנקודה (צריך לבדוק שהיעקוביאן אינו טריוויאלי). יש הליך דומה לנקודות מעל \(W\).
עבור \(\PP^5\), ההומולוגיה היא \[ \begin{array}{ccccccc} k & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \\ \hline H_k\left(\PP^5\right) & \ZZ & \ZZ & \ZZ & \ZZ & \ZZ & \ZZ \end{array} \]
גורמי \(\ZZ\) הנוספים מגיעים מהרכיב \(W \cong \PP^2 = e^0 \cup e^2 \cup e^4\). לו פיברציה היתה מכפלה, היינו מקבלים \(E = (e^0 \cup e^2 \cup e^4) \times (e^0 \cup e^2 \cup e^4) = e^0 \cup 2e^2 \cup 3e^4 \cup 2e^6 \cup e^8\), והיינו מקבלים את המימדים הנדרשים מחיתוך \(W\) מתוך \(\PP^5\) והדבקת \(E\) במקומו.
אמנם פיברציה אינה מכפלה, אבל מעל מרחב כויץ, כל פיברציה היא טריוויאלית, אז מספר התאים בחישוב לעיל נכון, גם אם הם מודבקים אחרת. מכיוון שכל התאים הם ממימד זוגי, לאופן ההדבקה אין השפעה על ההומולוגיה (תרגיל: הוכחה מדויקת).
במקרה הכללי, דרך חמש נקודות עוברת קוניקה יחידה, והיא חלקה. לעקומות חלקות, הכיסוי חח"ע, ולכן נשמרת הטרנסברסליות, ומכאן \(\Lambda^5 = 1\).
\(\Lambda^4 E = \Lambda^3 E^2 = 0\) כי אי־אפשר להעביר שני קווים דרך ארבע נקודות כלליות, או אחד דרך שלוש.
כאן הדואליות היא של יריעות, ולא דואליות Poincaré. מתקיימים היחסים הבאים:
המחלקות \(\Lambda, E\) אינן תלויות לינארית: ראשית \(\Lambda^5 = 1\), ולכן בפרט \(\Lambda \neq 0\). גם \(E \neq 0\), כי ניתן למצוא יריעה שנחתכת איתה. זה יהיה חיתוך של יריעות מרוכבות קומפקטיות, ולכן חיובי, ובפרט שונה מ־\(0\). לבסוף, המחלקות \(\Lambda, E\) אינן פרופורציוניות כי \(\Lambda^4 E = 0\).
מכאן נובע שניתן לכתוב \[ \left\{ \begin{aligned} \Lambda^* &= \alpha \Lambda + \beta E \\ E^* &= \gamma \Lambda + \delta E \end{aligned} \right. \] עבור מקדמים כלשהם \(\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \QQ\). נחשב אותם: \[ \begin{align*} \alpha &= \Lambda^* \Lambda^4 = \#\{\text{קוניקות דרך $4$ נקודות, משיקות לישר}\} = 2 \\ \gamma &= E^* \Lambda^4 = \#\{\text{זוגות ישרים דרך $4$ נקודות}\} = \binom{4}{2} = 3 \end{align*} \]
ההעתקה \(\ast\) היא דואליות, ולכן \(\ast^* = \mathrm{Id}\), אז \[ \begin{pmatrix} 2 & \beta \\ 3 & \delta \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] והטענה נובעת.
נגדיר תנאי נוסף על קוניקות: השקה לעקומה חלקה כללית (נתונה) ממעלה \(d\). זה תנאי מקו־מימד \(1\), ומגדיר מחלקה \(T_d \in H_8\left(\overline{\Mmc_{0, 0}\left(\PP^2, 2\right)}\right)\).
נכתוב \(T_d = a \Lambda + b E\), אז \(a = T_d \Lambda^4\).
אחרי קביעת ארבע נקודות כלליות, הקוניקות העוברות דרכן ומשיקות לעקומה כללית הן חלקות: קו כפול אינו יכול לעבור דרך ארבע נקודות, ובדרך־כלל אף אחד משלושת זוגות הישרים העוברות דרך הנקודות אינו משיק לעקומה. תהי \(C_d\) העקומה הנתונה. נגדיר העתקה \(\phi:C_d \to \PP^1\): נקח את \(\PP^1\) בתור המרחב \(\Lambda^4\), של קוניקות העוברות דרך ארבע נקודות \(p_1, p_2, p_3, p_4\), ונגדיר \(\phi(x) = C_{x, p_1, p_2, p_3, p_4}\) העקומה העוברת דרך כל חמש הנקודות, אז \(\deg \phi = 2d\). לפיכך, \(\chi\left(C_d\right) = 2d \chi\left(\PP^1\right) - a\) (כי יש \(a\) נקודות השקה, והן מסדר \(2\)). מחישוב שביצענו בעבר, \(3d - d^2 = 4d - a\), ולכן \(a = d(d+1)\).
לפי הגדרה, \(T_1 = \Lambda^*\), אז \[ T_1 T_d E \Lambda^2 = (2\Lambda - E) (d(d+1) \Lambda + b E) E \Lambda^2 = -b E^3 \Lambda^2 = -4 b \] לא ייתכן שהקוניקה תהיה קו כפול, כי אז היא חייבת להשיק ל־\(C_d\) וגם לישר \(\ell_1\) (פעמיים), כלומר לפחות בשלוש נקודות, אבל יש רק שתי נקודות מסועפות.
עבור זוג ישרים, נקבל השקה עם \(\ell_1\) ועם \(C_d\). נקבל כי \(-4b = m \cdot d\) עבור מקדם \(m\) כלשהו. המקדם אינו תלוי ב־\(d\), ומהצבת המקרה \(d = 1\) נקבל \(m = -1\), כלומר \(b = -d\).
מחישוב בהומולוגיה, יש \(2 \cdot (2+1) = 6\) קוניקות המשיקות לקוניקה נתונה ועוברות דרך ארבע נקודות (\(T_2 \Lambda^4\)), ולכן יש לכאורה \(6^5\) פתרונות.
כמו קודם, יש פתרונות "מיותרים". המספר הנכון נתון על־ידי \(T_2^5 = (6\Lambda - 2E)^5 = \dotsb = 3264\).
לאחרונה נמצא שגם במקרה הממשי קיימות חמישיות של קוניקות, שלהן משיקות \(3264\) קוניקות שונות. (כאן יש הסבר מקוצר על ההוכחה).
הבעיה הכללית בניסוח גיאומטרי: תהי \(X\) יריעה אלגברית (חלקה) מרוכבת. כמה עקומות \(C \subset X\) יש, עם מעלה נתונה \(\deg C = \beta \in H_2(X)\) וגנוס נתון \(g(C) = g\), המקיימות בנוסף תנאים נתונים, כמו למשל לעבור דרך נקודות, להשיק לעקומות אחרות, או להיחתך עם תת־יריעות?
לדוגמה, עבור \(X = \PP^2\), מעלה \(\beta = d \left[\PP^1\right]\) וגנוס \(g\), נגדיר את יריעת Severi \(V_{d, g} \subset \PP^{d(d+3)/2}\). כמו שראינו בספירת קוניקות במישור, תורת החיתוכים של יריעות כאלה אינה נותנת בקלות תשובה לבעיה הכללית. הכלי המודרני לפתרון הבעיה הוא מרחבי מודולים של העתקות יציבות.
לבעיה יש שימושים בפיזיקה, בתורת המיתרים: במודל הזה יש תנועה של "מיתרים" מעגליים במרחב, המגדירה משטח. פתרונות של התנהגות מערכת הם נקודות קיצון של פונקציונל כלשהו, הנתון כאינטגרל של פונקציה על מרחב מצבים. עבור חלקיק נקודתי, למרחב המצבים הזה יש מבנה פשוט: יריעה סוף־מימדית. לחלקיק מיתרי, למרחב יש מימד אינסופי.
עדיין ניתן לעבוד עם המרחב הזה באמצעות עקרונות מקומיים־גלובליים, שהופכים את הפונקציונל לאינטגרל על תת־יריעות קיצוניות.
דוגמה לשימוש כזה הוא ספירת עקומות רציונליות על יריעת Calabi-Yau תלת־מימדית. יריעה נקראת Calabi-Yau אם קיימת תבנית נפח הולומורפית לא־מנוונת מדרגה מירבית (במקרה זה, דרגה \(3, 0\)), כלומר תבנית הנתונה באופן מקומי ע"י \(f \mathrm{d}z_1 \wedge \mathrm{d}z_2 \wedge \mathrm{d}z_3\) כאשר \(f \neq 0\) באף נקודה. דוגמאות ליריעות Calabi-Yau הן קוביקות \(C_3 \subset \PP^2\), משטחים \(M_4 \subset \PP^3\) ויריעות תלת־מימדיות \(Q_5 \subset \PP^4\), שהן המקרה המעניין אותנו.
תהי \(C \subset Q_5 \subset \PP^4\) עקומה רציונלית (כלומר \(g = 0\)) ביריעה \(Q_5\). ידועים הפתרונות עבור מעלות נמוכות (אולי באזור \(d \leq 11\)?). המקרה של גנוס חיובי פתוח.
במקרים רבים, נסתכל על מרחב מודולים הנתון כמרחב מחלקות איזומורפיזם \(\Mmc = S/\sim\). מרחב מודולים נקרא עדין אם קיימת משפחה אוניברסלית \(T \to \Mmc\), המקיימת שלכל משפחה \(B \xrightarrow{\phi} \Mmc\), קיים אובייקט יחיד \(\Phi \xrightarrow{\tilde{\phi}} T\) הנותן תרשים חילופי כלשהו.
מרחב מודולים נקרא גס אם לא קיימת משפחה אוניברסלית.
במרחב מודולים עדין, יש שקילות בין משפחות \(B \xrightarrow{\phi} \Mmc\) להעתקות לתוך \(\Mmc\), כלומר יש איזומורפיזם בין הקטגוריה של המשפחות האלה לבין \(\Hom(\ast, \Mmc)\).
יהיו \(X\) יריעה אלגברית ממימד \(\dim X = m \geq 2\), \(\beta \in H_2(X)\) מעלה ו־\(g \geq 0\) גנוס. נתבונן בהעתקות \(\mu:(C, p_1, \dotsc, p_n) \to X\) כאשר \(C\) משטח רימן מגנוס \(g(C) = g\), \(p_1, \dotsc, p_n \in C\) נקודות שונות זו מזו, ו־\(\mu_*[C] = \beta\). מרחב האובייקטים שלנו יהיה קבוצת ההעתקות האלה, ומרחב המודולים \(\Mmc_{g, n}(X, \beta)\) הוא קבוצת מחלקות השקילות, ביחס לאיזומורפיזמים מתאימים. זהו מרחב המודולים של העתקות יציבות לתוך \(X\), ממעלה \(\beta\), של עקומות מגנוס \(g\), עם \(n\) נקודות מסומנות.
נשים לב כי עבור \(\beta \neq 0\), האובייקט \(\mu:(C, p_1, \dotsc, p_n) \to X\) אכן יציב. המקרה \(\beta = 0\) אינו מעניין: כל \(C\) נשלחת לנקודה אחת.
יהיו \(Y_1, \dotsc, Y_n \subset X\) תת־יריעות. כמה עקומות ב־\(X\) המייצגות את \(\beta\) נחתכות עם כל היריעות האלה? ביתר פירוט, נדרוש שלכל \(i\) יתקיים \(\ev_i([\mu]) \in Y_i\).
נתבונן במחלקה הדואלית \(\left[Y_i\right]^\vee \in H^*(X)\), ונרים אותה למחלקה הקוהומולוגית \(\gamma_i = \ev_i^*\left[Y_i\right]^\vee \in H^*\left(\bar{\Mmc}\right)\). אם \(\sum_{i=1}^n \dim \gamma_i = \dim \bar{\Mmc}\), אז ניתן לבצע אינטגרציה \(\int_{\bar{\Mmc}} \prod_{i=1}^n \gamma_i \in \ZZ\). המכפלה בקוהומולוגיה מתאימה לחיתוך בהומולוגיה, ומההנחות הוא מכיל מספר סופי של נקודות.
לפעמים הבעיה אינה מוגדרת מעל \(\ZZ\), ואז נקבל אינטגרל בעל ערך אחר, עם משמעות התלויה בשאלה.
עקומה חלקה רציונלית היא משטח Riemann השקולה ל־\(\PP^1\), כלומר לספירת Riemann, \(\CC P^1\). לעקומה כזו יש גנוס \(g\left(\PP^1\right) = 0\).
עקומה רציונלית עם \(n\) נקודות מסומנות, \((C; p_1, \dotsc, p_n)\), היא עקומה רציונלית \(C \cong \PP^1\), ו־\(n\) נקודות שונות זו מזו \(p_1, \dotsc, p_n \in C\).
אם \(n = 0\), אז \(\Aut \PP^1 = PGL(\CC, 2)\) חבורה אינסופית עם מימד מרוכב \(\dim \Aut = 3\). גם במקרים \(n = 1, 2\), קל לראות שאין אובייקטים יציבים.
עבור \(n = 3\), החבורה \(\PGL(\CC, 2)\) היא \(3\)־טרנזיטיבית, ולכן כל האובייקטים הם איזומורפיים ל־\(\left(\PP^1, 0, 1, \infty\right)\), כלומר \(\Mmc_{0, n} = \left\{\left[\left(\PP^1, 0, 1, \infty\right)\right]\right\} = \{\text{pt}\}\). מעל המרחב הזה יש משפחה אוניברסלית \(\Fmc \to \Mmc\) הנתונה ע"י \(\Fmc = \left\{\left(\PP^1, 0, 1, \infty\right)\right\}\) (כל סיב הוא נציג של מחלקת האיזומורפיזם).
עבור \(n = 4\), ניתן להניח בה"כ ששלוש הנקודות הראשונות הן \(0, 1, \infty\), כלומר נקבל \(\left(\PP^1, 0, 1, \infty, p_4\right)\) עם \(p_4 \neq 0, 1, \infty\). פעולת \(\PGL\) משמרת יחס כפול, ולכן בחירות שונות של \(p_4\) נותנות מחלקות שונות. מכאן, \(\Mmc_{0, n} \cong \PP^1 \setminus \{0, 1, \infty\}\), שהוא מרחב לא־קומפקטי.
ננסה לבנות למרחב זה משפחה אוניברסלית: נבנה העתקה \(\PP^1 \times \PP^1 \to \Mmc_{0, 4}\) הנתונה ע"י \((x, y) \mapsto x\) בכל מקום פרט לנקודות \(q_0 = (0, 0), q_1 = (1, 1), q_\infty = (\infty, \infty)\). עבור \(p_4 \neq 0, 1, \infty\), נקבל נציג למחלקה \(\left(\PP^1, 0, 1, \infty, p_4\right)\). נבצע ניפוח בנקודות \(q_0, q_1, q_\infty\).
תהי \(0 \in \CC^n\) עבור \(n \geq 2\), ונקח קואורדינטות \(x_1, \dotsc, x_n\). נגדיר את העקומה \(Y = \{(\bar{x}, \bar{y})\} \subset \CC^n \times \PP^{n-1}\) הנתונה על־ידי השוויונים \(\forall 1 \leq i \lt j \leq n: x_i y_j - x_j y_i = 0\), ונתבונן בהטלה \(\pi:Y \to \CC^n\).
\(Y\) נקראת הניפוח של \(\CC^n\) ב־\(0\).
עבור \(\CC^m \subset \CC^n\), \(n-m \geq 2\), נגדיר באופן מוכלל ניפוח לאורך \(\CC^m\) באמצעות היריעה \(Y \subset \CC^n \times \PP^{n-m-1}\).
נקבל סגור \(\overline{\Mmc_{0, 4}} \cong \PP^1\) ומשפחה אוניברסלית \(\pi:\left(\PP^1 \times \PP^1\right)_3 \to \PP^1\) (ניפוח בשלוש נקודות). הדיביזור המיוחד הוא \(E = \pi^{-1}(0) = \PP^1 \vee \PP^1\), איחוד שני ישרים, הנפגשים בנקודה אחת. אחד מהם מייצג את הכיוון האופקי, עם זוג נקודות מסומנות \(1, \infty\), והשני מייצג את האלכסון, עם הנקודות המסומנות \(0, p_4\) (הכיוון הגבולי, \(\PP^1\), בהגדרת הניפוח). כל איזומורפיזם חייב לשמור בנוסף גם על נקודת החיתוך, ולכן על שלוש נקודות בכל עותק של \(\PP^1\), ומכאן שהאובייקט יציב. נסכם את התוצאות במשפט:
לאובייקטים \((C, p_1, \dotsc, p_n) \in \overline{\Mmc_{0, n}} \setminus \Mmc_{0, n}\) יש הצורה הבאה: \(C\) היא עקומה רציונלית (כלומר מגנוס \(0\)) פריקה נודאלית וקשירה, כלומר \(C = \bigcup_{i=1}^m C_i\) כאשר \(C_i \cong \PP^1\), \(m \geq 2\), ולכל \(i \neq j\) מתקיים \(C_i \cap C_j = \emptyset\) או \(C_i \cap C_j = \text{pt}\) חיתוך טרנסברסלי, כלומר שקול מקומית לעקומה \(xy = 0\) במישור \(\PP^2\).
במקרה כזה, הגנוס הוא גנוס אריתמטי: בכל נקודת חיתוך נבצע דפורמציה ל־\(xy = \epsilon\). נקבל עקומה רציונלית קשירה (מעל \(\CC\)), ולה יש גנוס רגיל (גרף המפגשים של הרכיבים \(C_i\) הוא עץ).
בנוסף, \(p_1, \dotsc, p_n \in C\) כולן נקודות שונות זו מזו, ומקיימות תנאי יציבות: לכל \(1 \leq i \leq m\), \(C_i\) מכיל לפחות שלוש נקודות מסומנות, שהן או נקודות מבין \(p_1, \dotsc, p_n\) או נקודות חיתוך של שני רכיבים.
בבניה ישירה. נוסיף למשל נקודה \(p_5\): כל עוד היא שונה מהאחרות, נקבל סיב טריוויאלי. כאשר היא נפגשת עם אחת הנקודות הקודמות, נקבל, מקומית, ניפוח זהה לקודם. גם כאשר \(p_5\) מתקרבת לחיתוך הישרים נקבל ניפוח דומה.
נראה שבתנאי 4 יש משפחה אוניברסלית: תהי \([(C, p_1, \dotsc, p_n)] \in \overline{\Mmc_{0, n}}\) מחלקה, אז \(\pi_n^{-1}([(C, p_1, \dotsc, p_n)]) = (C, p_1, \dotsc, p_{n+1})\) כאשר \(p_{n+1} \in C\). מכאן, שיש איזומורפיזם בין הסיב ליריעה, \(\pi_n^{-1}(C, p_1, \dotsc, p_n) \isomorph (C, p_1, \dotsc, p_n)\), כלומר המשפחה אוניברסלית.
המקרה \(\overline{\Mmc_{0, 3}} = \text{pt}\) טריוויאלי. נניח כי \(n \geq 4\).
\(\overline{\Mmc_{0, 4}} \cong \PP^1\) עם שלוש נקודות מסומנות, \(\left\{\hat{0}, \hat{1}, \hat{\infty}\right\} \subset \PP^1\). כל נקודה כזו היא יוצר של ההומולוגיה ממימד \(0\) (בתור נקודות במרחב קשיר), ומייצגות אובייקטים פריקים (כי הן מסומנות): \[ \begin{align*} \hat{0} &\to D_{12|34} \\ \hat{1} &\to D_{13|24} \\ \hat{\infty} &\to D_{14|23} \end{align*} \] אלה דיביזורים שקולים, המייצגים את אותה מחלקה הומולוגית: \(D_{12|34} \cong D_{13|24} \cong D_{14|23}\), או באופן שקול \(\left[D_{12|34}\right] = \left[D_{13|24}\right] = \left[D_{14|23}\right] \in H_0\left(\overline{\Mmc_{0, 4}}\right)\).
לכל \(n \geq 4\), ניתן לבחור ארבעה מספרים \(\{i, j, k, \ell\} \subset [n]\) ולהגדיר העתקה \(\pi_{ijk \ell}:\overline{\Mmc_{0, n}} \to \overline{\Mmc_{0, 4}} \cong \PP^1\) ע"י \[ \begin{align*} D_{ij|k \ell}^{(n)} &\to D_{12|34} \\ D_{ik|j \ell}^{(n)} &\to D_{13|24} \\ D_{i \ell|jk}^{(n)} &\to D_{14|23} \end{align*} \]
כל סיב הוא ממימד \(n-4\) (כי משחזרים \(n-4\) נקודות), ולכן גם המקורות הם דיביזורים. התמונות שקולות, ולכן גם המקורות שקולים (באמצעות הרחבת הומוטופיה מתאימה), \(\left[D_{ij|k \ell}\right] = \left[D_{ik|j \ell}\right] = \left[D_{i \ell|jk}\right]\). נקבל כי ההטלה \(\pi_{ijk \ell}\) היא רציונלית.
עבור \(n \geq 4\), החוג \(H_*\left(\overline{\Mmc_{0, n}}\right)\) נוצר ע"י המחלקות \(\left[D_{ij|k \ell}^{(n)}\right] = \left[D_{ik|j \ell}^{(n)}\right] = \left[D_{i \ell|jk}^{(n)}\right]\) עבור הרביעיות \(\{i, j, k, \ell\} \subset [n]\). היחסים הם שלכל בחירה של רביעיה, שלוש המחלקות שוות זו לזו, וכן \(\prod \left[D_*^{(n)}\right] = 0\) כאשר החיתוך הוא של יותר מ־\((n-3)\) מחלקות, או כאשר יש סתירה קומבינטורית בין המחלקות. למשל, \(D_{ij|k \ell}^{(n)} \cap D_{ik|j \ell}^{(n)} = \emptyset\).
במקרה הכללי, אין הבטחה ש־\(\overline{\Mmc_{g, n}(X, \beta)}\) יריעה (חלקה) אי־פריקה. ייתכן שיש ליריעה מספר מרכיבים, ואף ממימדים שונים. עדיין, יש מקרים שבהם ידוע מימד המרחב שמתקבל. אחד המקרים האלה הוא בגנוס \(g = 0\) עם יריעה \(X\) קמורה.
מרחבי מודולים \(\overline{\Mmc_{0, n}(X, \beta)}\) ליריעות קמורות — נניח בינתיים כי \(X\) יריעה כללית. ל־\(\overline{\Mmc_{0, n}(X, \beta)}\) יש המבנה הבא: חלק פתוח \[ \Mmc_{0, n}(X, \beta) = \left\{\left[\mu:\left(\PP^1, p_1, \dotsc, p_n\right) \to X\right] \middle| \mu_*\left[\PP^1\right] = \beta \in H_2(X)\right\} \subset \overline{\Mmc_{0, n}(X, \beta)} \] והשלמה המורכבת ממחלקות \[ \zeta = [\mu:(C, p_1, \dotsc, p_n) \to X] \in \overline{\Mmc_{0, n}(X, \beta)} \setminus \Mmc_{0, n}(X, \beta) \] כאשר \(C\) עקומה רציונלית נודאלית קשירה; \(p_i \neq p_j\) נקודות \(p_i \notin \Sing(C)\); \(C = \bigcup_{i=1}^m C_i\); \(\sum_{i=1}^m \mu_*[C_i] = \beta \in H_2(X)\); ויתר־על־כן \(\zeta\) אובייקט יציב.